Ερωτήσεις κλειστού τύπου

Αν $g(x)=x\cdot {{2}^x},$ τότε το $g(-1)$ είναι ίσο με:

• $-\dfrac{1}{2}$
• $\dfrac{1}{2}$
• $-2$
• $-1$

Αν $f(x)=\sqrt{1-{x^2}},$ τότε το πεδίο ορισμού της $f$ είναι το διάστημα:

• $[-1,1]$
• $(-1,1)$
• $[1,+\infty )$
• $(-\infty ,-1]$

Αν $f(x)=3x+4,$ τότε $f({x^2})=3{x^2}+4.$

• Σωστό
• Λάθος

Η συνάρτηση $f(x)=\dfrac{\log\left( x+1 \right)}x$ ορίζεται για $x>-1.$

• Σωστό
• Λάθος

Η γραφική παράσταση της $y=\left| x-2 \right|+1$ είναι πάνω από τον άξονα $x^\prime x.$

• Σωστό
• Λάθος

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης $f$ είναι συμμετρική ως προς τον άξονα $y'y$ της γραφικής παράστασης $-f.$

• Σωστό
• Λάθος

Η γραφική παράσταση της $|f|$ αποτελείται από τα τμήματα της γραφικής παράστασης της $f$ που βρίσκονται άνω του άξονα $x'x$ ή επί αυτού και από τα συμμετρικά, ως προς τον άξονα $x'x,$ των τμημάτων της γραφικής παράστασης της $f$ που βρίσκονται κάτω του άξονα $x'x.$

• Σωστό
• Λάθος

Ο $y'y$ είναι άξονας συμμετρίας της γραφικής παράστασης της συνάρτησης $f(x)=\sqrt{|x|},$ $x\in\mathbb{R}.$

• Σωστό
• Λάθος

Η συνάρτηση $f(x)=\dfrac{1}{x^2+1}$ έχει πεδίο ορισμού το $\mathbb{R}.$

• Σωστό
• Λάθος

Αν $f(x)= \begin{cases} 0,& x\lt 0 \\ x, & x\geq 0 \end{cases}\ ,$ τότε:

• $f(x)=\dfrac{x+|x|}{2}$
• $f(x)=x+|x|$
• $f(x)=x-|x|$
• $f(x)=\dfrac{x-|x|}{2}$

Αν $f(x) = x^2$ και $\alpha\neq\beta,$ τότε το πηλίκο $\dfrac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha}$ είναι ίσο µε:

• $\beta+\alpha$
• $\beta-\alpha$
• $\alpha-\beta$
• $2\alpha$

Το πεδίο ορισµού της συνάρτησης $f(x) = \dfrac{x-1}{x^4 + 1}$ είναι το σύνολο:

• $\mathbb{R}$
• $\mathbb{R}\setminus\{1\}$
• $\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}$
• $\mathbb{R}\setminus\{-1\}$

Το πλήθος των σηµείων τοµής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης $f(x) = x^6 + x^4 + x^2 + 1$ µε τον άξονα $x'x$ είναι:

• $0$
• $1$
• $3$
• $6$

Αν $f(x)={{10}^x},$ τότε $f(x)+f(2+x)$$=f(x)f(2+x).$

• Σωστό
• Λάθος

Αν $f,g$ συναρτήσεις με πεδία ορισμού $A,B$ αντιστοίχως, τότε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης $\dfrac{f}{g}$ είναι το $A\cap B.$

• Σωστό
• Λάθος

Κάθε κατακόρυφη ευθεία έχει το πολύ ένα κοινό σημείο με τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης $f.$

• Σωστό
• Λάθος

Το σύνολο των τετµηµένων των σηµείων στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης $f(x) = x^3 - 3x^2 - x + 3$ τέµνει τον άξονα $x'x$ είναι:

• $\{- 1, 1, 3\}$
• $\{- 1, 1\}$
• $\{-3,- 1, 1\}$
• $\{1, 3\}$

∆ίνονται οι συναρτήσεις $f(x) = x^3$ και $g(x) = 2 - x.$ Οι τετµηµένες των κοινών σηµείων των γραφικών παραστάσεων τους είναι οι αριθµοί:

• $1$
• $0,1$
• $-1,1$
• $\frac{1}{2},3$

Η συνάρτηση $g,$ της οποίας η γραφική παράσταση είναι συµµετρική της γραφικής παράστασης της συνάρτησης $f (x) = 1 - 2^x,$ ως προς τον άξονα $y'y,$ έχει τύπο:

• $g(x)=1-2^{-x}$
• $g(x)=2^x-1$
• $g(x)=2^{-x}-1$
• $g(x)=2^x + 1$

Η συνάρτηση που έχει γραφική παράσταση τη συµµετρική ως προς τον άξονα $x'x$ της γραφικής παράστασης της $y = f(x),$ είναι η συνάρτηση:

• $y = -f(x)$
• $y =f(-x)$
• $y = |f(x)|$
• $y = -f(-x)$

Αν $f(x)=x−2$ και $g(x)=x^2+3,$ τότε η τιμή $(f\circ g)(1)$ ισούται με:

• $2$
• $-1$
• $3$
• $4$

Αν $f(x)=x+1$ και $g(x)=\gsin x,$ τότε η συνάρτηση $h(x)=\gsin (x+1)$ είναι η:

• $g\circ f$
• $f\circ g$
• $g\circ f\circ f$
• $g\circ g\circ f$

Αν $f(x)=x+1$ και $g(x)=\gcos x,$ τότε η συνάρτηση $h(x)=\gcos (x+2)$ είναι η:

• $g\circ f\circ f$
• $g\circ f$
• $f\circ g$
• $g\circ g\circ f$

Έστω οι συναρτήσεις $f,g$ με πεδία ορισμού $Α,Β$ αντιστοίχως. Η συνάρτηση $f\circ g$ ορίζεται:

• όταν $g(B)\cap A\neq\emptyset$
• όταν $f(A)\cap B\neq\emptyset$
• για κάθε $x\in A$
• για κάθε $x\in B$

Αν $f,g$ είναι δύο συναρτήσεις με πεδία ορισμού $A,B$ αντίστοιχα τότε η $g\circ f$ ορίζεται αν $f(A)\cap B\neq\emptyset.$

• Σωστό
• Λάθος

Αν για δύο συναρτήσεις $f,g$ ορίζονται οι συναρτήσεις $f\circ g$ και $g\circ f$ τότε είναι υποχρεωτικά $f\circ g\neq g\circ f.$

• Σωστό
• Λάθος

Αν $f(x)=\gsin x,$ $g(x)=x+1$ και $h(x)=\sqrt{x},$ τότε η συνάρτηση $\phi(x)=\gsin\sqrt{x} +1$ είναι η:

• $g\circ f\circ h$
• $f\circ g\circ h$
• $g\circ h\circ f$
• $h\circ g\circ f$

Το $1$ είναι τιμή της συνάρτησης $f(x)=\dfrac{e^x}{e^x +1},$ $x\in\mathbb{R}.$

• Σωστό
• Λάθος

Αν $f(x) = \ln x$ και $g(x) = 4 - x^2,$ τότε το πεδίο ορισµού της $f\circ g$ είναι:

• $(- 2, 2)$
• $[- 2, 2]$
• $(- \infty, -2]$
• $[2, +\infty)$

Για κάθε ζεύγος συναρτήσεων $f,g,$ για τις οποίες ορίζονται οι συναρτήσεις $f\circ g$ και $g\circ f,$ ισχύει $f\circ g = g\circ f.$

• Σωστό
• Λάθος

Για κάθε τριάδα συναρτήσεων $f,g,h$ που ορίζεται η $f\circ (g\circ h),$ ισχύει $f\circ (g\circ h)=(f\circ g)\circ h.$

• Σωστό
• Λάθος

Αν οι συναρτήσεις $f,g$ έχουν ως πεδίο ορισμού το $[0,1]$ και ως σύνολο τιμών το $[2,3],$ τότε ορίζεται η $f\circ g,$ με πεδίο ορισμού το $[0,1]$ και σύνολο τιμών το $[2,3].$

• Σωστό
• Λάθος

Το πεδίο ορισμού της $g\circ f$ αποτελείται από όλα τα στοιχεία $x$ του πεδίου ορισμού της $f$ για τα οποία το $f(x)$ ανήκει στο πεδίο ορισμού της $g.$

• Σωστό
• Λάθος

Αν η $f$ είναι γνησίως φθίνουσα στο $\mathbb{R}$ με $f({x^2}-1)\lt f(3),$ τότε:

• $\left| x \right|\gt 2$
• $\left| x \right|\lt 2$
• $x \lt 2$
• $x \gt 2$

Αν για μια συνάρτηση $f$ ισχύει $f(1)>f(2),$ τότε η $f$ είναι γνησίως φθίνουσα.

• Σωστό
• Λάθος

Αν $f(x)\ge f(2),$ για κάθε $x\in \mathbb{R},$ τότε το $f(2)$ είναι ελάχιστο.

• Σωστό
• Λάθος

Αν $f(x)\le 5,$ για κάθε $x\in \mathbb{R}$ τότε το $5$ είναι μέγιστο.

• Σωστό
• Λάθος

Αν για μια συνάρτηση $f$ με πεδίο ορισμού $A$ ισχύει $f(x)\leq f(x_0)$ για κάθε $x\in A,$ όπου $x_0\in A,$ στη θέση $x_0$ η $f$ παρουσιάζει μέγιστο, με τιμή $f(x_0).$

• Σωστό
• Λάθος

Η συνάρτηση $\gcos x,$ $x\in\mathbb{R},$ έχει μία μόνο θέση ολικού μεγίστου.

• Σωστό
• Λάθος

Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της τότε δεν διαθέτει ακρότατα.

• Σωστό
• Λάθος

Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα κατά διαστήματα τότε είναι γνησίως φθίνουσα στην ένωση των διαστημάτων.

• Σωστό
• Λάθος

Αν η $f$ είναι γνησίως αύξουσα στα $[\alpha,\beta]$ και $[\beta,\gamma]$ τότε αυτή είναι γνησίως αύξουσα στο $[\alpha,\gamma].$

• Σωστό
• Λάθος

Μια συνάρτηση $f$ είναι $1-1$ αν και μόνο αν δεν υπάρχει ζεύγος σημείων της $C_f$ με ίδια τεταγμένη.

• Σωστό
• Λάθος

Αν μια συνάρτηση είναι $1-1,$ τότε είναι γνησίως μονότονη.

• Σωστό
• Λάθος

Μια συνάρτηση $f$ είναι $1-1$ αν και μόνο αν κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει την $C_f$ σε τουλάχιστον ένα σημείο.

• Σωστό
• Λάθος

Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη, τότε είναι συνάρτηση $1-1.$

• Σωστό
• Λάθος

Αν η $f\circ f$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R},$ τότε και η $f$ είναι γνησίως αύξουσα.

• Σωστό
• Λάθος

Αν η $f\circ f$ είναι $1-1$ στο $\mathbb{R},$ τότε και η $f$ είναι $1-1.$

• Σωστό
• Λάθος

Αν μια συνάρτηση διαθέτει αντίστροφη, τότε είναι γνησίως μονότονη.

• Σωστό
• Λάθος

Η συνάρτηση $f(x) = x + e^x $ ειναι $1-1.$

• Σωστό
• Λάθος

Η συνάρτηση $f(x) = x (1-e^{x-1})$ ειναι $1-1.$

• Σωστό
• Λάθος

Ποια από τις παρακάτω προτάσεις οδηγεί στο συμπέρασμα ότι μια συνάρτηση $f$ με πεδίο ορισμού το $Α$ είναι $1-1$;

• Για οποιαδήποτε $x_1,x_2\in A$ να ισχύει η συνεπαγωγή: $x_1\neq x_2\Longrightarrow f(x_1)\neq f(x_2).$
• Για οποιαδήποτε $x_1,x_2\in A$ να ισχύει η συνεπαγωγή: $x_1 = x_2\Longrightarrow f(x_1) = f(x_2).$
• Για οποιαδήποτε $x_1,x_2\in A$ να ισχύει η συνεπαγωγή: $f(x_1) \neq f(x_2)\Longrightarrow x_1 \neq x_2.$

Για μια συνάρτηση $f$ που είναι $1-1$ ισχύει:

• Η εξίσωση $f(x)=0$ διαθέτει το πολύ μία λύση.
• Η γραφική παράσταση της $f$ μπορεί να τέμνει σε περισσότερα από ένα σημεία τον άξονα $x'x.$
• Οποιαδήποτε οριζόντια ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση της $f$ σε ακριβώς ένα σημείο.
• Οποιαδήποτε κατακόρυφη ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση της $f$ σε ακριβώς ένα σημείο.

Αν η $f$ είναι γνησίως αύξουσα, τότε και η $f^2$ είναι γνησίως αύξουσα.

• Σωστό
• Λάθος

Αν η $f$ είναι γνησίως αύξουσα στα $[\alpha,\beta]$ και $(\beta,\gamma]$ τότε αυτή είναι γνησίως αύξουσα στο $[\alpha,\gamma].$

• Σωστό
• Λάθος

Υπάρχει άρτια συνάρτηση στο $\mathbb{R}$ που είναι γνησίως μονότονη.

• Σωστό
• Λάθος

Αν η $f$ είναι γνησίως μονότονη, τότε και η $f^2$ είναι γνησίως μονότονη.

• Σωστό
• Λάθος

Αν η $f$ είναι γνησίως φθίνουσα, τότε και η $f^3$ είναι γνησίως φθίνουσα.

• Σωστό
• Λάθος

Αν η $f$ είναι γνησίως μονότονη, τότε και η $f^3$ είναι γνησίως μονότονη.

• Σωστό
• Λάθος

Μια συνάρτηση $f$ με πεδίο ορισμού το $A$ είναι $1-1$ αν και μόνο αν για κάθε $x_1,x_2\in A$ ισχύει η συνεπαγωγή:
Αν $x_1=x_2,$ τότε $f(x_1)=f(x_2).$

• Σωστό
• Λάθος

Μια συνάρτηση $f$ με πεδίο ορισμού το $A$ είναι $1-1$ αν και μόνο αν για κάθε $x_1,x_2\in A$ ισχύει η συνεπαγωγή:
Αν $x_1\neq x_2,$ τότε $f(x_1)\neq f(x_2).$

• Σωστό
• Λάθος

Αν μια συνάρτηση $f$ με πεδίο ορισμού το $Α$ διαθέτει αντίστροφη, τότε $f^{-1}(f(x))=x,$ για κάθε $x\in A.$

• Σωστό
• Λάθος

Μια συνάρτηση $f$ με πεδίο ορισμού το $A$ παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο $x_0\in A$ όταν $f(x)\geq f(x_0)$ για κάθε $x\in A.$

• Σωστό
• Λάθος

Μια συνάρτηση $f$ είναι $1-1$ αν και μόνο αν για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της, η εξίσωση $f(x)=y$ διαθέτει ακριβώς μια λύση ως προς $x.$

• Σωστό
• Λάθος

Αν η $f$ έχει αντίστροφη συνάρτηση $f^{-1}$ και η γραφική παράσταση της $f$ διαθέτει ένα κοινό σημείο $\mathup{Α}$ με την ευθεία $y=x,$ τότε το σημείο $\mathup{Α}$ ανήκει στη γραφική παράσταση της $f^{-1}$.

• Σωστό
• Λάθος

Αν ένα σημείο $\mathup{Α}(\alpha,\beta)$ ανήκει στη γραφική παράσταση μιας αντιστρέψιμης συνάρτησης $f,$ τότε το σημείο $\mathup{B}(\beta,\alpha)$ ανήκει στη γραφική παράσταση της $f^{-1}.$

• Σωστό
• Λάθος

Αν μια συνάρτηση $f$ είναι $1-1$ στο πεδίο ορισμού της, τότε υπάρχουν διαφορετικά σημεία της γραφικής παράστασης της $f$ με την ίδια τεταγμένη.

• Σωστό
• Λάθος

Η συνάρτηση $f(x) = 2e^{-x}$ έχει ως αντίστροφη την:

• $\ln\dfrac{2}{x}$
• $\ln\dfrac{x}{2}$
• $\dfrac{\ln x}{2}$
• $\sqrt{\ln x}$

Από τις παρακάτω συναρτήσεις δεν διαθέτει αντίστροφη συνάρτηση η:

• $y=\dfrac{x^2}{x^2 +1}$
• $y=\gsin x,\quad$ $x\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$
• $y = x^3 + 1$
• $y = \ln (x - 3),\quad$ $x \gt 3$

Μόνο μια συνάρτηση που είναι $1-1$ μπορεί να διαθέτει αντίστροφη.

• Σωστό
• Λάθος

Αν η γραφική παράσταση της $f$ και η γραφική παράσταση της $f^{-1}$ τέμνουν την ευθεία $y=x,$ τότε την τέμνουν στα ίδια σημεία.

• Σωστό
• Λάθος

Αν μια συνάρτηση $f$ με πεδίο ορισμού το $Α$ διαθέτει αντίστροφη, τότε $f^{-1}(f(x))=x,$ για κάθε $x\in f(A).$

• Σωστό
• Λάθος

Μια συνάρτηση $f$ με πεδίο ορισμού το $A$ είναι $1-1$ αν και μόνο αν για κάθε $x_1,x_2\in A$ ισχύει η συνεπαγωγή:
Αν $f(x_1)= f(x_2),$ τότε $x_1=x_2.$

• Σωστό
• Λάθος

Μια συνάρτηση $f$ με πεδίο ορισμού το $A$ είναι $1-1$ αν και μόνο αν για κάθε $x_1,x_2\in A$ ισχύει η συνεπαγωγή:
Αν $f(x_1)\neq f(x_2),$ τότε $x_1\neq x_2.$

• Σωστό
• Λάθος

Έστω $f$ συνάρτηση ορισμένη στο $\mathbb{R},$ η οποία είναι $1-1.$ Το πεδίο ορισμού της αντίστροφης συνάρτησης $f^{-1}$ είναι το σύνολο τιμών της $f.$

• Σωστό
• Λάθος

Αν μια συνάρτηση $f$ με πεδίο ορισμού το $Α$ διαθέτει αντίστροφη, τότε $f(f^{-1}(x))=x,$ για κάθε $x\in A.$

• Σωστό
• Λάθος

H αντίστροφη της συνάρτησης $f(x) = e^{x-1}+2,$ $x\in\mathbb{R},$ είναι:

• $f^{-1}(x)=\ln(x-2)+1,\quad$ $x>2$
• $f^{-1}(x)=\ln(x+2)+1,\quad$ $x>-2$
• $f^{-1}(x)=\ln(x-1)+2,\quad$ $x>1$
• $f^{-1}(x)=\ln(x+1)-2,\quad$ $x>-1$

Έστω $f$ µία $1-1$ συνάρτηση. Τότε οι γραφικές παραστάσεις της $f$ και της $f^{-1}$ είναι συµµετρικές:

• ως προς την ευθεία $y = x$
• ως προς την ευθεία $y = - x$
• ως προς την αρχή των αξόνων
• ως προς τον άξονα $x'x$
• ως προς τον άξονα $y'y$

Αν μια συνάρτηση $f$ με πεδίο ορισμού το $Α$ διαθέτει αντίστροφη, τότε $f(f^{-1}(x))=x,$ για κάθε $x\in f(A).$

• Σωστό
• Λάθος

Αν µια συνάρτηση $f$ είναι γνησίως φθίνουσα στο $\mathbb{R},$ τότε:

• Η συνάρτηση $f$ είναι $1 - 1$
• Η συνάρτηση $f$ δεν αντιστρέφεται
• Η συνάρτηση $f^{-1}$ είναι γνησίως αύξουσα

Ισχύει πάντοτε $\lim_{x\to x_0}\left( f(x)+g(x) \right)=\lim_{x\to x_0}f(x)+\lim_{x\to x_0}g(x).$

• Σωστό
• Λάθος

Η συνάρτηση $f(x)=\dfrac{x-25}{\sqrt{x}-5}$ δεν διαθέτει όριο στο ${x_{0}}=5.$

• Σωστό
• Λάθος

$\lim_{x\to \frac{\pi }{2}}\dfrac{\pi }{4}=\dfrac{\pi }{8}.$

• Σωστό
• Λάθος

Αν $\lim_{x\to x_0} f(x)\lt \lim_{x\to x_0} g(x),$ τότε $f(x)\lt g(x)$ για τις τιμές του $x$ κοντά στο $x_0.$

• Σωστό
• Λάθος

Αν $\lim_{x\to x_0} f(x)\gt 0,$ τότε $f(x)\lt 0$ για τις τιμές του $x$ κοντά στο $x_0.$

• Σωστό
• Λάθος

Αν $f(x)\gt 0$ για τις τιμές του $x$ κοντά στο $x_0,$ τότε $\lim_{x\to x_0} f(x)\gt 0.$

• Σωστό
• Λάθος

Αν $f(x)\gt 0$ για τις τιμές του $x$ κοντά στο $x_0$ και υπάρχει το $\lim_{x\to x_0} f(x),$ τότε $\lim_{x\to x_0} f(x)\gt 0.$

• Σωστό
• Λάθος

Αν $\lim_{x\to -2}\dfrac{x^2 + \alpha x+ \beta}{x^2 + 2x}=3,$ τότε:

• $\alpha=-2,\beta=-8$
• $\alpha=-3,\beta=-7$
• $\alpha=-4,\beta=-9$
• $\alpha=-1,\beta=-6$

Αν $2x\sqrt{x}\leq f(x)\leq x^2+x,$ για κάθε $x\in\mathbb{R},$ τότε το $\lim_{x\to 1}f(x)$ ισούται με:

• $2$
• $3$
• $-1$
• Το όριο δεν υπάρχει

Αν $\lim_{x\to 1}\dfrac{f(x)-2}{x-1}=3,$ τότε:

• $\lim_{x\to 1}f(x)=2$
• $\lim_{x\to 1}f(x)=1$
• $\lim_{x\to 1}f(x)=3$
• Το όριο δεν υπάρχει

Αν μια συνάρτηση f είναι ορισμένη σε διάστημα της μορφής $(\alpha,x_0)$ ενώ δεν ορίζεται σε διάστημα $(x_0,\beta)$ και υπάρχει το όριο στο $x_0,$ ισχύει $\lim_{x\to x_0}f(x)=\lim_{x\to x_0-}f(x).$

• Σωστό
• Λάθος

$\lim_{x\to x_0}f(x)=l$ αν και μόνο αν $\lim_{h\to 0}f(x_0+h)=l.$

• Σωστό
• Λάθος

Αν υπάρχει το $\lim_{x\to x_0}(f(x)g(x)),$ τότε υπάρχουν τα όρια $\lim_{x\to x_0}f(x)$ και $\lim_{x\to x_0}g(x).$

• Σωστό
• Λάθος

Αν $f(x)\lt M$ για τις τιμές του $x$ κοντά στο $x_0$ και υπάρχει το $\lim_{x\to x_0} f(x),$ τότε $\lim_{x\to x_0} f(x)\lt M.$

• Σωστό
• Λάθος

Αν $f(x)\geq M$ για τις τιμές του $x$ κοντά στο $x_0$ και υπάρχει το $\lim_{x\to x_0} f(x),$ τότε $\lim_{x\to x_0} f(x)\geq M.$

• Σωστό
• Λάθος

Το όριο $\lim_{x\to 0}\dfrac{\gsin^2 x -2 \gsin x}{x^2 +x}$ ισούται με:

• $-2$
• $0$
• $-1$
• $1$

Το όριο $\lim_{x\to 0}\dfrac{1-\gcos x}{x^2}$ ισούται με:

• $\dfrac{1}{2}$
• $-2$
• $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
• $2$

$\lim_{x\to 0}\dfrac{\gsin x - x}{x}=0.$

• Σωστό
• Λάθος

Αν $\lim_{x\to x_0}|f(x)|=l,$ τότε $\lim_{x\to x_0}f(x)=l$ ή $\lim_{x\to x_0}f(x)=-l.$

• Σωστό
• Λάθος

Το όριο $\lim_{x\to 2}\dfrac{\sqrt{x^2 + 5}-3}{x^2 -2x}$ ισούται με:

• $\dfrac{1}{3}$
• $\dfrac{1}{4}$
• $-\dfrac{1}{2}$
• $\dfrac{1}{4}$

Το όριο $\lim_{x\to 0}\left((x^2 +x)\gcos\dfrac{7}{x}\right)$ ισούται με:

• $0$
• $\dfrac{1}{7}$
• $7$
• Το όριο δεν υπάρχει

Το όριο $\lim_{x\to \frac{\pi}{2}}\dfrac{\gcos x}{\pi - 2x}$ ισούται με:

• $\dfrac{1}{2}$
• $\dfrac{\pi}{2}$
• $-\dfrac{\pi}{2}$
• $\dfrac{2\pi}{3}$

Αν $\lim_{x\to x_0}f(x)\lt 0,$ τότε $|f(x)|=−f(x)$ κοντά στο $x_0.$

• Σωστό
• Λάθος

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=\dfrac{x-1}{{x^3}-1},$ ορισμένη για $x>1.$ Τότε $\lim_{x\to 0}f(x)=1.$

• Σωστό
• Λάθος

Το όριο $\lim_{y\to a}\dfrac{\frac{1}{{{a}^{2}}}-\frac{1}{{{y}^{2}}}}{y-a}$ ($\alpha\neq 0$) είναι ίσο με:

• $\dfrac{2}{a^3}$
• $\dfrac{a^3}{2}$
• $a^3$
• $2a^3$

Αν υπάρχει το $\lim_{x\to x_0} (f(x)+g(x)),$ τότε υπάρχουν πάντα τα $\lim_{x\to x_0} f(x),$ $\lim_{x\to x_0} g(x).$

• Σωστό
• Λάθος

Αν $\lim_{x\to x_0} |f(x)|=0,$ τότε $\lim_{x\to x_0} f(x)=0.$

• Σωστό
• Λάθος

Αν ισχύει $h(x)\leq f(x)\leq g(x)$ κοντά στο $x_0$ και $\lim_{x\to x_0}h(x)\neq \lim_{x\to x_0}g(x),$ τότε δεν υπάρχει το $\lim_{x\to x_0}f(x).$

• Σωστό
• Λάθος

$\lim_{x\to 0}\left(x\gsin\dfrac{1}{x}\right)=0.$

• Σωστό
• Λάθος

Αν $\alpha\neq 0,$ τότε $\lim_{x\to 0}\dfrac{\gsin\alpha x}{x}=\alpha.$

• Σωστό
• Λάθος

Το όριο $\lim_{x\to -2}\dfrac{x^3 + 4x^2 +x-6}{x^2-2x-8}$ ισούται με:

• $\dfrac{1}{2}$
• $\dfrac{1}{4}$
• $-\dfrac{1}{2}$
• $-\dfrac{1}{4}$

Το όριο $\lim_{x\to 0}\dfrac{\gsin\pi x}{x}$ ισούται με:

• $\pi$
• $2\pi$
• $-2\pi$
• $\dfrac{\pi}{2}$

Αν η συνάρτηση $f$ ορίζεται στο $x_0$ και υπάρχει το $\lim_{x\to x_0}f(x),$ τότε $\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0).$

• Σωστό
• Λάθος

To $\lim_{x\to 0} \dfrac{\gsin x}{x}$ ισούται με:

• $1$
• $-1$
• $0$
• Δεν υπάρχει

Αν $f (x) = \dfrac{\gsin x}{|x|},$ τότε:

• Δεν υπάρχει το όριο της $f$ στο $0$
• $\lim_{x\to 0}f (x)= 1$
• $\lim_{x\to 0}f (x)= -1$
• $\lim_{x\to 0}f (x)= 0$

Αν $\lim_{x\to 0}(f (x)-x^3 +1)= 2,$ τότε το $\lim_{x\to 0}f (x)$ ισούται με:

• $1$
• $-1$
• $2$
• $-2$

To $\lim_{x\to 0} \dfrac{\gcos x - 1}{x}$ ισούται με:

• $0$
• $-1$
• $1$
• Δεν υπάρχει

$|\gsin x| \lt |x|$ για $x\in\mathbb{R}.$

• Σωστό
• Λάθος

Αν υπάρχει το όριο της συνάρτησης $f$ στο $x_0$ και $\lim_{x\to x_0}|f(x)|=0,$ τότε $\lim_{x\to x_0}f(x)=0.$

• Σωστό
• Λάθος

Ισχύει ότι $|\gsin x|\leq|x|$ για κάθε $x\in\mathbb{R}.$

• Σωστό
• Λάθος

Το όριο $\lim_{x\to 0}\dfrac{2-\sqrt{4-x}}{3x}$ είναι ίσο με:

• $\dfrac{1}{12}$
• $\dfrac{1}{8}$
• $12$
• $8$

Για συνάρτηση $f$ ισχύει $\lim_{x\to 0}\dfrac{xf(x)-\gsin 3x}{x^2 +x}=2.$ Το $\lim_{x\to 0}f(x)$ ισούται με:

• $5$
• $3$
• $2$
• $-1$

Αν $0\leq f(x)\leq 1$ για τιμές του $x$ κοντά στο $0,$ τότε $\lim_{x\to 0}x^2 f(x)=0.$

• Σωστό
• Λάθος

Αν $3-x^2\leq f(x)\leq 3+x^2,$ για $|x|\lt 1,$ τότε το $\lim_{x\to 0}f(x)$ είναι ίσο με:

• $3$
• $1$
• $0$
• Δεν υπάρχει

Αν $f(x)=\dfrac{x^2 - 4x +3} {x-3}\ $ ($x\neq 3$), τότε το $\lim_{x\to 3}f(x)$ είναι ίσο με:

• $2$
• $3$
• $-3$
• $0$

Αν $\lim_{x\to x_0}f(x)=−\infty$ τότε $\lim_{x\to x_0}(-f(x))=+\infty.$

• Σωστό
• Λάθος

Αν $\lim_{x\to x_0}f(x)=−\infty$ τότε $\lim_{x\to x_0}|f(x)|=+\infty.$

• Σωστό
• Λάθος

Το όριο $\lim_{x\to 0}x^{-5}$ ισούται με:

• Το όριο δεν υπάρχει
• $0$
• $+\infty$
• $-\infty$

Το όριο $\lim_{x\to -3}\dfrac{1}{|x+3|}$ ισούται με:

• $+\infty$
• $0$
• Το όριο δεν υπάρχει
• $-\infty$

Το όριο $\lim_{x\to 2}\dfrac{1}{x^2 -4x +4}$ ισούται με:

• $+\infty$
• $0$
• Το όριο δεν υπάρχει
• $-\infty$

Το όριο $\lim_{x\to 3-}\dfrac{1}{(x-3)^5}$ ισούται με:

• $-\infty$
• $0$
• Το όριο δεν υπάρχει
• $+\infty$

Το όριο $\lim_{x\to 2}\dfrac{x-6}{x^2 -x-2}$ ισούται με:

• Το όριο δεν υπάρχει
• $+\infty$
• $0$
• $-\infty$

Το όριο $\lim_{x\to 1}\dfrac{x^4+1}{x^3 -1}$ ισούται με:

• Το όριο δεν υπάρχει
• $0$
• $+\infty$
• $-\infty$

Το όριο $\lim_{x\to 0}\dfrac{x-2}{x^2}$ ισούται με:

• $-\infty$
• $0$
• $+\infty$
• Το όριο δεν υπάρχει

Το όριο $\lim_{x\to 0}\dfrac{1}{x^9}$ ισούται με:

• Το όριο δεν υπάρχει
• $-\infty$
• $+\infty$
• $0$

Αν $\lim_{x\to x_0}f (x) = 0$ και $\lim_{x\to x_0}g(x) = +\infty,$ τότε:

• Δεν γνωρίζουμε
• $\lim_{x\to x_0}(f (x) g(x)) = 0$
• $\lim_{x\to x_0}(f (x) g(x)) = +\infty$

Αν $\lim_{x\to x_0} f(x)= \pm\infty,$ τότε $f(x)\neq 0$ για τις τιμές του $x$ κοντά στο $x_0.$

• Σωστό
• Λάθος

Αν $\lim_{x\to x_0} f(x)=\lim_{x\to x_0} g(x)= +\infty,$ τότε $\lim_{x\to x_0} (f(x)-g(x))=0.$

• Σωστό
• Λάθος

Αν $\lim_{x\to x_0} f(x)= -\infty,$ τότε $f(x)\lt 0$ για τις τιμές του $x$ κοντά στο $x_0.$

• Σωστό
• Λάθος

$\lim_{x\to x_0} f(x) = 0,$ τότε $\lim_{x\to x_0} \dfrac{1}{f(x)} = \pm\infty.$

• Σωστό
• Λάθος

Αν $\lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty$ και $\lim_{x\to x_0}g(x)=-\infty,$ τότε $\lim_{x\to x_0}(f(x)+g(x))=0.$

• Σωστό
• Λάθος

Αν $\lim_{x\to x_0}f(x)=\pm\infty,$ τότε $\lim_{x\to x_0}|f(x)|=+\infty.$

• Σωστό
• Λάθος

$\lim_{x\to +\infty}\dfrac{x^2 + x + 2}{x^2 + x + 3}=\dfrac{2}{3}.$

• Σωστό
• Λάθος

Αν $0\lt \alpha\lt 1,$ τότε το $\lim_{x\to -\infty} \alpha^x$ ισούται με:

• $+\infty$
• $-\infty$
• $0$

Το όριο $\lim_{x\to -\infty}(x^3 -5x+1)$ ισούται με:

• $-\infty$
• $0$
• $+\infty$
• Το όριο δεν υπάρχει

Το όριο $\lim_{x\to -\infty}(2x^4 +x^2 -x+7)$ ισούται με:

• $+\infty$
• $7$
• $-\infty$
• Το όριο δεν υπάρχει

Το όριο $\lim_{x\to +\infty}\dfrac{6x^3 + 3x^2 -2x +4}{2x^3 +7x}$ ισούται με:

• $3$
• $6$
• $+\infty$
• $0$

Αν $\alpha\gt 1,$ τότε το $\lim_{x\to -\infty} \alpha^x$ ισούται με:

• $0$
• $+\infty$
• $-\infty$

Το όριο $\lim_{x\to -\infty}\dfrac{12x^7 + 3x^5 -2x^3 +x}{-3x^4 -2x^3 +5x}$ ισούται με:

• $+\infty$
• $3$
• $-3$
• $-\infty$

Το όριο $\lim_{x\to +\infty}\dfrac{2x^2 + 3x -2}{x^4 +2x^2 -5}$ ισούται με:

• $0$
• $2$
• $+\infty$
• $-\infty$

Το όριο $\lim_{x\to +\infty}(\sqrt{x^2 -3x +5}+x)$ ισούται με:

• $+\infty$
• Το όριο δεν υπάρχει
• $-\infty$
• $0$

Το όριο $\lim_{x\to +\infty}(\sqrt{x^2 -x +1}-3x)$ ισούται με:

• $-\infty$
• Το όριο δεν υπάρχει
• $+\infty$
• $-3$

Το όριο $\lim_{x\to +\infty}\left(x\gsin\dfrac{1}{x}\right)$ ισούται με:

• $1$
• $0$
• $+\infty$
• $-1$

$\lim_{x\to +\infty} \alpha^x =+\infty$ όταν:

• $\alpha\gt 1$
• $0\lt \alpha\lt 1$
• Σε καμία περίπτωση

Το όριο $\lim_{x\to +\infty}\dfrac{5^x}{3^x}$ ισούται με:

• $+\infty$
• $\dfrac{3}{5}$
• $-\infty$
• $\dfrac{5}{3}$

Το όριο $\lim_{x\to -\infty}\dfrac{7^x}{2^x}$ ισούται με:

• $0$
• $\dfrac{7}{2}$
• $-\infty$
• $+\infty$

Το όριο $\lim_{x\to +\infty}\dfrac{4x^2 +1}{(4-x)(4+x)}$ ισούται με:

• $-4$
• $16$
• $+\infty$
• $-\infty$

Το όριο $\lim_{x\to +\infty}(e^{-x} + 2)$ ισούται με:

• $2$
• $0$
• $+\infty$
• $-\infty$

Για τη συνάρτηση $f(x)=\dfrac{x^2 -2x+3}{4x^2 +5},$ η ακριβέστερη προσέγγιση της τιμής $f\left(10^{10^{10}}\right)$ είναι η:

• $0,25$
• $4$
• $\dfrac{3}{5}$
• $-\dfrac{1}{2}$

Αν $\nu$ θετικός ακέραιος, τότε δεν αληθεύει πάντοτε ότι:

• $\lim_{x\to -\infty}x^\nu = -\infty$
• $\lim_{x\to +\infty}x^\nu = +\infty$
• $\lim_{x\to +\infty}\dfrac{1}{x^\nu} = 0$
• $\lim_{x\to -\infty}\dfrac{1}{x^\nu} = 0$

Αν $\lim_{x\to +\infty}\dfrac{\alpha x+4}{2x-7}=3,$ τότε:

• $\alpha=6$
• $\alpha=4$
• $\alpha=-7$
• $\alpha=2$

$\lim_{x\to -\infty}\dfrac{3^x +1}{3^x +3}=\dfrac{1}{3}.$

• Σωστό
• Λάθος

$\lim_{x\to -\infty} e^x = 0.$

• Σωστό
• Λάθος

$\lim_{x\to +\infty} \alpha^x =0$ όταν:

• $0\lt \alpha\lt 1$
• $\alpha\gt 1$
• Σε καμία περίπτωση

Ισχύει $\lim_{x\to x_0}\gcos x=\gcos x_{0}.$

• Σωστό
• Λάθος

Η συνάρτηση $f(x)=\dfrac{x^3-x}{x}$ είναι συνεχής στο $x_0=0.$

• Σωστό
• Λάθος

Η συνάρτηση $f(x)=\dfrac{x^3-x}{x}$ είναι συνεχής στο $x_0=1.$

• Σωστό
• Λάθος

Αν η $f$ είναι συνεχής στο $x_0$ με $f(x_0)\lt 0,$ τότε $f(x)\lt 0$ κοντά στο $x_0.$

• Σωστό
• Λάθος

Αν η συνάρτηση $f(x)=\left\{\begin{align} & \dfrac{{x^{4}}-1}{x-1},x\ne 1 \\ & 5\alpha-1,x=1 \\ \end{align} \right.$ είναι συνεχής στο ${x_{0}}=1,$ τότε ο $\alpha$ είναι ίσος με:

• $1$
• $-1$
• $2$
• $0$

Αν η $f+g$ είναι συνεχής στο $x_0,$ τότε και οι $f,g$ είναι συνεχείς στο $x_0.$

• Σωστό
• Λάθος

Κάθε ρητή συνάρτηση είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της.

• Σωστό
• Λάθος

Αν μια συνάρτηση $f$ είναι συνεχής στο $x_0$ και $f(x_0)\gt 0,$ τότε $f(x)\gt 0$ για τις τιμές του $x$ κοντά στο $x_0.$

• Σωστό
• Λάθος

Η συνάρτηση $f(x)= \begin{cases} x^3-2x,& x\leq -1 \\ x^2+x, & x\gt -1\end{cases}$ είναι συνεχής στο $x_0=-1.$

• Σωστό
• Λάθος

Η συνάρτηση $f(x)= \begin{cases} \dfrac{\gsin 4x}{x},& x\neq 0 \\ 4, & x=0\end{cases}$ είναι συνεχής στο $x_0=0.$

• Σωστό
• Λάθος

Για τη συνάρτηση $f$ ισχύει $|f(x)-3x+2|\leq x^2,$ για κάθε $x\in\mathbb{R}.$ Είναι η $f$ συνεχής στο $0$;

• Ναι
• Όχι
• Δεν μπορούμε να αποφανθούμε

Για τη συνάρτηση $f$ ισχύει $|f(x)|\leq |x^2 -5x+6|,$ για κάθε $x\in\mathbb{R}.$ Τότε, η $f$ είναι συνεχής στο $2$ και στο $3.$

• Σωστό
• Λάθος

Αν η $f$ είναι συνεχής στο $x_0$ με $f(x_0)\neq 0,$ τότε κοντά στο $x_0$ οι τιμές της $f$ είναι ομόσημες του $f(x_0).$

• Σωστό
• Λάθος

Αν οι συναρτήσεις $f,g$ είναι συνεχείς στο $x_0,$ τότε και η σύνθεση τους $g\circ f$ είναι συνεχής στο $x_0.$

• Σωστό
• Λάθος

Αν για τη συνεχή στο $\mathbb{R}$ συνάρτηση ισχύει $\lim_{h\to 0}\dfrac{f(2+h)}{h}=12,$ τότε η τιμή $f(2)$ ισούται με:

• $0$
• $12$
• $2$
• $6$

Αν η $f$ είναι συνεχής στο $x_0=3$ και $\lim_{x\to 3}\dfrac{f(x)-4}{x-3}=1,$ τότε $f(3)=4.$

• Σωστό
• Λάθος

Αν η συνάρτηση $f$ είναι συνεχής στο $0$ και $x^2 f(x)=1-\gcos 2x,$ για κάθε $x\in\mathbb{R},$ τότε:

• $f(0)=2$
• $f(0)=3$
• $f(0)=1$
• $f(0)=\dfrac{1}{2}$

Η συνάρτηση $f(x)= \begin{cases} (x-\kappa)(x+\kappa),& x\leq 2 \\ \kappa x+5, & x\gt 2\end{cases}\ $ είναι συνεχής στο $x_0=2.$ Τότε το $\kappa$ ισούται με:

• $-1$
• $2$
• $5$
• $0$

Έστω η συνεχής συνάρτηση $f$ για την οποία ισχύει $f(x^4 +x +1)=x^3 -x,$ για κάθε $x\in\mathbb{R}.$ Το όριο $\lim_{x\to 3}f(x)$ ισούται με:

• $0$
• $4$
• $3$
• $1$

Αν η $|f|$ είναι συνεχής στο $x_0,$ τότε η $f$ είναι συνεχής στο $x_0.$

• Σωστό
• Λάθος

Μια συνάρτηση $f$ είναι συνεχής σε ένα σημείο $x_0$ του πεδίου ορισμού της αν ισχύει $\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0).$

• Σωστό
• Λάθος

Αν $\lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty,$ τότε η $f$ δεν είναι συνεχής στο $x_0.$

• Σωστό
• Λάθος

Αν η $f^2$ είναι συνεχής, τότε και η $f$ είναι συνεχής.

• Σωστό
• Λάθος

Αν η συνάρτηση $f$ είναι συνεχής στο $[\alpha,\beta]$ και υπάρχει $x_0 \in (\alpha,\beta)$ με $f(x_0)=0,$ τότε $f(\alpha)f(\beta)\lt 0.$

• Σωστό
• Λάθος

Αν για συνάρτηση $f$ ισχύουν $f(\alpha)f(\beta)\lt 0$ και $f(x)\neq 0$ για κάθε $x\in (\alpha,\beta),$ τότε η $f$ δεν είναι συνεχής στο $[\alpha,\beta].$

• Σωστό
• Λάθος

Μια συνάρτηση $f$ είναι συνεχής στο διάστημα $(\alpha,\beta]$ αν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του ανοιχτού διαστήματος $(\alpha,\beta)$ και ισχύει $\lim_{x\to \beta-}f(x)=f(\beta).$

• Σωστό
• Λάθος

Αν μια συνάρτηση $f$ είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο $[\alpha,\beta],$ τότε $f\left([\alpha,\beta]\right) = [f(\beta), f(\alpha)].$

• Σωστό
• Λάθος

Κάθε συνεχής στο $(\alpha,\beta)$ συνάρτηση $f$ διαθέτει μέγιστο και ελάχιστο.

• Σωστό
• Λάθος

Αν η $f$ είναι συνεχής στο $[\alpha,\beta]$ και δεν διαθέτει ρίζα στο διάστημα, τότε τα $f(\alpha),f(\beta)$ είναι ομόσημα.

• Σωστό
• Λάθος

Κάθε συνάρτηση που είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της $A$ και δεν μηδενίζεται σε αυτό, διατηρεί πρόσημο στο $Α.$

• Σωστό
• Λάθος

Μια πολυωνυμική συνάρτηση $P$ διατηρεί πρόσημο σε καθένα από τα διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της $P$ διαμερίζουν το πεδίο ορισμού της $\mathbb{R}.$

• Σωστό
• Λάθος

Το σύνολο τιμών μιας συνεχούς μη σταθερής συνάρτησης με πεδίο ορισμού το $(\alpha,\beta)$ είναι διάστημα της μορφής $(m,M),$ όπου $m,M\in\mathbb{R}.$

• Σωστό
• Λάθος

Η εξίσωση $3x+\ln^4 x=x^2 +4$ διαθέτει λύση στο $(1,e).$

• Σωστό
• Λάθος

Η εξίσωση $e^x=3-2x$ διαθέτει μοναδική λύση στο $(0,1).$

• Σωστό
• Λάθος

Η εξίσωση $\ln x=x^2 -4x +2$ δεν διαθέτει ρίζα στο $(0,1).$

• Σωστό
• Λάθος

Αν η συνάρτηση $f$ είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο $(\alpha,\beta),$ τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το $(f(\alpha),f(\beta)).$

• Σωστό
• Λάθος

Αν η συνάρτηση $f$ είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο $(\alpha,\beta),$ τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το $(Α,Β),$ όπου $A=\lim_{x\to\alpha+}f(x),$ $B=\lim_{x\to\beta-}f(x).$

• Σωστό
• Λάθος

Αν η συνάρτηση $f$ είναι συνεχής στο διάστημα $\Delta,$ $f(x)\neq 0$ για κάθε $x\in\Delta$ και υπάρχει $\alpha\in\Delta$ ώστε $f(\alpha)\gt 0,$ τότε $f(x)\gt 0$ για κάθε $x\in\Delta.$

• Σωστό
• Λάθος

Αν η συνάρτηση $f$ είναι συνεχής στο $[\alpha,\beta]$ και $f(\alpha)f(\beta)\leq 0,$ τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα $x_0\in[\alpha,\beta]$ τέτοιο ώστε $f(x_0)=0.$

• Σωστό
• Λάθος

Έστω $f$ συνεχής στο $[-1,1]$ και $f(-1)=3,$ $f(1)=4.$ Τότε:

• Η εξίσωση $f(x)=\pi$ διαθέτει λύση στο $(-1,1).$
• Η μέγιστη τιμή της $f$ είναι το $3$ και η ελάχιστη το $4.$
• Η $f$ διατηρεί πρόσημο στο $[-1,1].$

Κάθε συνάρτηση διατηρεί σταθερό πρόσημο στα διαστήματα όπου οι διαδοχικές της ρίζες διαμερίζουν το πεδίο ορισμού της.

• Σωστό
• Λάθος

Κάθε συνεχής συνάρτηση σε διάστημα διατηρεί σταθερό πρόσημο μεταξύ δύο διαδοχικών ριζών της.

• Σωστό
• Λάθος

Αν η συνάρτηση $f$ είναι συνεχής στο $[\alpha,\beta],$ τότε υπάρχει $\xi\in[\alpha,\beta]$ ώστε $f(\xi)=\dfrac{f(\alpha)+f(\beta)}{2}.$

• Σωστό
• Λάθος

Για μια συνάρτηση, μπορεί να ισχύει το συμπέρασμα του Θεωρήματος Bolzano χωρίς να ισχύουν οι προυποθέσεις του.

• Σωστό
• Λάθος

Το σύνολο τιμών της $f(x)=\sqrt{x-1}+\ln x$ είναι το $[0,+\infty).$

• Σωστό
• Λάθος

Η συνάρτηση $f(x)=\gsin x -\gcos x$ είναι θετική στο $\left(\dfrac{\pi}{4},\dfrac{5\pi}{4}\right).$

• Σωστό
• Λάθος

Υπάρχει συνάρτηση συνεχής και μη σταθερή στο $\mathbb{R}$ που οι τιμές της είναι μόνο ακέραιοι αριθμοί.

• Σωστό
• Λάθος

Αν μια συνάρτηση είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της και δεν διαθέτει ρίζες τότε διατηρεί πρόσημο.

• Σωστό
• Λάθος

Κάθε μη σταθερή συνάρτηση ορισμένη σε κλειστό διάστημα διαθέτει μέγιστη και ελάχιστη τιμή.

• Σωστό
• Λάθος

Μια συνάρτηση $f$ είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα $[\alpha,\beta]$ αν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του $(\alpha,\beta).$

• Σωστό
• Λάθος

Αν η συνάρτηση $f$ είναι συνεχής στο $[\alpha,\beta]$ και $f(\alpha)f(\beta)\gt 0,$ τότε η εξίσωση $f(x)=0$ είναι αδύνατη στο $(\alpha,\beta).$

• Σωστό
• Λάθος

Αν μια συνάρτηση $f$ είναι συνεχής σε ένα διάστημα $[\alpha,\beta]$ και τα σημεία $A(\alpha,f(\alpha)),$ $B(\beta,f(\beta))$ βρίσκονται εκατέρωθεν του άξονα $x'x,$ τότε:

• Η γραφική παράσταση της $f$ τέμνει τον άξονα $x'x$ σε ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη $x_0 \in (\alpha,\beta).$
• Δεν προκύπτει συμπέρασμα για το αν υπάρχει σημείο τομής της γραφικής παράστασης της $f$ με τον άξονα $x'x$ στο διάστημα $(\alpha,\beta).$
• Η γραφική παράσταση της $f$ τέμνει τον άξονα $x'x$ ακριβώς σε ένα σημείο με τετμημένη $x_0 \in (\alpha,\beta).$

Αν για συνεχή συνάρτηση $f$ στο $[\alpha,\beta]$ υπάρχει $x_0 \in (\alpha,\beta)$ ώστε $f(x_0)=0,$ τότε:

• Δεν προκύπτει κανένα συμπέρασμα για το πρόσημο των $f(\alpha)$ ή $f(\beta).$
• Ισχύει $f(\alpha)f(\beta)\lt 0.$
• Τα $f(\alpha),$ $f(\beta)$ είναι ομόσημα

Αν η συνάρτηση $f$ είναι συνεχής στο $(\alpha,\beta)$ τότε δεν διαθέτει ολικά ακρότατα.

• Σωστό
• Λάθος

Αν μια συνάρτηση $f$ είναι συνεχής σε διάστημα $\Delta$ και δεν μηδενίζεται σε αυτό, τότε διατηρεί πρόσημο στο διάστημα.

• Σωστό
• Λάθος

Αν μια συνεχής συνάρτηση $f$ δεν διατηρεί πρόσημο σε ένα σύνολο $A,$ τότε μηδενίζεται σε κάποιο σημείο του συνόλου.

• Σωστό
• Λάθος

Αν μια συνάρτηση $f$ είναι ορισμένη στο $[\alpha,\beta]$ και ισχύει $f(\alpha)f(\beta)\lt 0$ και $f(x)\neq 0$ για κάθε $x\in (\alpha,\beta),$ τότε:

• Η $f$ δεν είναι συνεχής στο $[\alpha,\beta].$
• Η $f$ είναι συνεχής στο $[\alpha,\beta].$
• Δεν μπορεί να εξαχθεί κανένα συμπέρασμα για τη συνέχεια της $f$ στο $[\alpha,\beta].$

Αν το πεδίο ορισμού μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης δεν είναι διάστημα, τότε το σύνολο τιμών της επίσης δεν είναι διάστημα.

• Σωστό
• Λάθος

Αν $f(x)=x,$ τότε $f'(1969)=1.$

• Σωστό
• Λάθος

Αν μια συνάρτηση $f$ είναι παραγωγίσιμη, τότε ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της καμπύλης στο σημείο $A\left( {x_{0}},f({x_{0}}) \right)$ είναι ${f}'({x_{0}}).$

• Σωστό
• Λάθος

Η συνάρτηση $f(x)=\left| x \right|$ είναι παραγωγίσιμη στο $0.$

• Σωστό
• Λάθος

Ισχύει ${f}'(x_{0})=\lim_{h\to 0}\dfrac{f({x_{0}}+h)-f(h)}{h}.$

• Σωστό
• Λάθος

Είναι $\lim_{h\to 0}\dfrac{{{\left( 1+h \right)}^{100}}-1}{h}=100.$

• Σωστό
• Λάθος

Η εξίσωση της εφαπτομένης της $y=f(x),$ στο σημείο της $A\left( {x_{0}},f({x_{0}}) \right),$ είναι $y=f({x_{0}})+{f}'({x_{0}})\left( x-{x_{0}} \right).$

• Σωστό
• Λάθος

H παράγωγος της συνάρτησης $f (x) =\dfrac{1}{x}$ για $x_0=2$ ισούται µε:

• $-\dfrac{1}{4}$
• $-\dfrac{1}{2}$
• $2$
• $-4$

Αν η συνάρτηση $f$ δεν είναι συνεχής στο $x_{0},$ τότε δεν μπορεί να είναι παραγωγίσιμη στο $x_{0}.$

• Σωστό
• Λάθος

Αν για συνάρτηση $f$ ισχύει $f(0)=0,$ ${f}'(0)=-1,$ τότε η εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο $A\left(0,0\right)$ είναι η $y=-x.$

• Σωστό
• Λάθος

Αν η γραφική παράσταση της $f$ διέρχεται από την αρχή των αξόνων και $\lim_{x\to 0}\dfrac{f(x)}{x}=2,$ τότε $f'(0)=2.$

• Σωστό
• Λάθος

Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης $f (x) = - x^3+5$ στο σηµείο $\mathup{A}(1, 4)$ ισούται με:

• $-3$
• $-2$
• $1$
• $5$

$(2^{2x})'=\ln 2\cdot 2^{2x+1}.$

• Σωστό
• Λάθος

Αν $f,g$ παραγωγίσιμες στο $\mathbb{R}$ με $g(1)=0,$ $g'(1)=5$ και $f'(0)=2,$ τότε:

• $(f\circ g)'(1)=10$
• $(f\circ g)'(1)=0$
• $(f\circ g)'(1)=2$
• $(f\circ g)'(1)=5$

Αν η $f$ διαθέτει δεύτερη παράγωγο στο $x_0,$ τότε η $f'$ είναι συνεχής στο $x_0.$

• Σωστό
• Λάθος

Αν οι συναρτήσεις $f,g$ είναι παραγωγίσιμες στο $x_0,$ τότε η συνάρτηση $fg$ είναι παραγωγίσιμη στο $x_0$ και ισχύει $(fg)'(x_0)=f'(x_0)\cdot g'(x_0).$

• Σωστό
• Λάθος

Η παράγωγος της $3^{x^2}$ ισούται με:

• $2x\cdot 3^{x^2}\cdot\ln 3$
• $x^2\cdot 3^{x^2 - 1}$
• $2x\cdot 3^{x^2}$
• $2\cdot 9^{2x}\cdot\ln 9$

Αν η ευθεία $y=ax+\beta $ είναι εφαπτόμενη της καμπύλης $y=f(x)$ στο σημείο της $A\left( {x_{0}},f({x_{0}}) \right),$ τότε ${f}'({x_{0}})=\beta.$

• Σωστό
• Λάθος

Έστω η συνάρτηση $f (x) = - x^3.$ Η εφαπτοµένη της $C_f$ στο $\mathup{A}(0, 0)$ είναι:

• Ο άξονας $x'x$
• Ο άξονας $y'y$
• Η ευθεία $y = x$
• Η ευθεία $y = - x$

Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων $f (x) = \ln x$ και $g(x) = x^2$ δέχονται παράλληλες εφαπτοµένες, στα αντίστοιχα σηµεία µε κοινή τετµηµένη $x_0.$ Το $x_0$ ισούται με:

• $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
• $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
• $\sqrt{2}$
• $-\sqrt{2}$

Αν $f(x)=\gsin x$ και $g(x)=\gcos x,$ τότε $\left( f^2(x)+g^2(x) \right)^{\prime}=0.$

• Σωστό
• Λάθος

Αν για την παραγωγίσιμη συνάρτηση $f$ ισχύει $f(x)\leq x^2$ για κάθε $x\in\mathbb{R},$ τότε $f'(x)\leq 2x$ για κάθε $x\in\mathbb{R}.$

• Σωστό
• Λάθος

Η ευθεία $y=-1$ είναι εφαπτομένη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης $\gcos x.$

• Σωστό
• Λάθος

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης $f(x)=x^3 +2x -7$ δεν διαθέτει εφαπτομένη παράλληλη στον άξονα $x'x.$

• Σωστό
• Λάθος

Αν η $f$ είναι συνεχής στο $0,$ τότε η $xf(x)$ είναι παραγωγίσιμη στο $0.$

• Σωστό
• Λάθος

Αν $f(x)=\gsin x,$ τότε ${f}''=-f.$

• Σωστό
• Λάθος

Αν για τις συναρτήσεις $f,g$ ισχύει $f(2)=g(2)=a\neq 0$ και ${f}'(2)={g}'(2)=\beta ,$ τότε ${{\left(\dfrac{f}{g} \right)}^{\prime }}(2)=0.$

• Σωστό
• Λάθος

Αν $\lim_{x\to 0}\dfrac{f(x)-f(0)}{x}=2,$ τότε:

• $f'(0)=2$
• $f'(2)=0$
• H $f$ δεν ορίζεται στο $x_0 = 0.$
• Η $f$ δεν είναι συνεχής στο $x_0 = 0.$

Αν για την παραγωγίσιμη στο $1$ συνάρτηση $f$ ισχύει $f(1)>0,$ τότε $f'(1)>0.$

• Σωστό
• Λάθος

Ισχύει ${{\left( {{\pi }^{4}} \right)}^{\prime }}=4{{\pi }^{3}}.$

• Σωστό
• Λάθος

Για παραγωγίσιμη συνάρτηση $f,$ ισχύει ${{\left( {{f}^{3}}(x) \right)}^{\prime }}=3{f}'(x){{f}^{2}}(x).$

• Σωστό
• Λάθος

Η $\sqrt{x}$ είναι παραγωγίσιμη στο $[0,+\infty).$

• Σωστό
• Λάθος

Για κάθε $x\lt 0,$ $(\ln(-x))'=\dfrac{1}{x}.$

• Σωστό
• Λάθος

Για κάθε $x\neq 0,$ $(\ln|x|)'=\dfrac{1}{x}.$

• Σωστό
• Λάθος

$\lim_{x\to 0}\dfrac{e^x-1}{x}=1.$

• Σωστό
• Λάθος

Η γραφική παράσταση μιας πολυωνυμικής συνάρτησης περιττού βαθμού έχει πάντοτε οριζόντια εφαπτομένη.

• Σωστό
• Λάθος

Αν μια συνάρτηση $f$ είναι συνεχής στο σημείο $x_0$ του πεδίου ορισμού της, τότε είναι παραγωγίσιμη στο $x_0.$

• Σωστό
• Λάθος

Αν μια συνάρτηση $f$ είναι παραγωγίσιμη στο σημείο $x_0$ του πεδίου ορισμού της, τότε είναι συνεχής στο $x_0.$

• Σωστό
• Λάθος

Αν η συνάρτηση $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $x_0$ και η συνάρτηση $g$ παραγωγίσιμη στο $f(x_0),$ τότε η $f\circ g$ είναι παραγωγίσιμη στο $x_0.$

• Σωστό
• Λάθος

$(\alpha^x)'=x\alpha^{x-1}$ $(\alpha>0, \alpha\neq 1).$

• Σωστό
• Λάθος

Αν μια συνάρτηση $f$ δεν είναι συνεχής στο σημείο $x_0$ του πεδίου ορισμού της, τότε δεν είναι παραγωγίσιμη στο $x_0.$

• Σωστό
• Λάθος

Υπάρχουν συναρτήσεις που είναι παραγωγίσιμες σε ένα σημείο $x_0$ του πεδίου ορισμού τους και δεν είναι συνεχείς σε αυτό.

• Σωστό
• Λάθος

Αν μια συνάρτηση $f$ δεν είναι παραγωγίσιμη στο σημείο $x_0$ του πεδίου ορισμού της, τότε δεν είναι συνεχής στο $x_0.$

• Σωστό
• Λάθος

Υπάρχουν συναρτήσεις που είναι συνεχείς σε ένα σημείο $x_0$ του πεδίου ορισμού τους και δεν είναι παραγωγίσιμες σε αυτό.

• Σωστό
• Λάθος

Η εφαπτόμενη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης $y=\sqrt{x}$ στο σημείο της ${x_{0}}=4$ είναι:

• $x-4y+4=0$
• $4y-x+4=0$
• $x+4y+4=0$
• $y=4x$

Αν $f(x)=\gcos x-\gsin x,$ τότε η ${f}'(\pi )$ είναι ίση με:

• $1$
• $-1$
• $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
• $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Αν η εφαπτομένη της $f(x)=\ln x$ στο σημείο της $\mathup{A}\left( {x_{0}},f({x_{0}}) \right)$ διέρχεται από το $\mathup{O}\left( 0,0 \right)$ τότε το ${x_{0}}$ είναι ίσο με:

• $e$
• $\dfrac{1}{e}$
• ${{e}^{2}}$
• 1

Αν $f(x)={x^{4}}+2{x^3}-12{x^2}+3$ και $f''(x_0)=0$ τότε η θετική τιμή του $x_0$ είναι:

• $1$
• $0$
• $-1$
• $3$

Αν $g(x)=f(x^3)$ και $f'(1)=\dfrac{1}{3},$ τότε η ${g}'(1)$ είναι ίση με:

• $1$
• $3$
• $0$
• $\dfrac{1}{3}$

Αν $f(2)=\sqrt{3},$ ${f}'(2)=3$ και $g(x)=\sqrt{1+{{f}^{2}}(x)},$ τότε η ${g}'(2)$ είναι ίση με:

• $\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$
• $-\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$
• $\dfrac{1}{2}$
• $-\sqrt{3}$

Αν $f(x)={{5}^x}+{x^{5}},$ τότε η ${f}'(1)$ είναι ίση με:

• $5\left( \ln 5+1 \right)$
• $\ln 5+1$
• $5\ln 5$
• $5+\ln 5$

Ο ρυθμός μεταβολής της $g(x)={x^2}-\dfrac{{x^3}}{4}$ γίνεται μέγιστος για $x$ ίσο με:

• $\dfrac{4}{3}$
• $\dfrac{3}{4}$
• $\dfrac{8}{3}$
• $\dfrac{3}{8}$

Ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού $Ε$ του κύκλου ακτίνας $r,$ όταν $r=5$ είναι:

• $10\pi$
• $5\pi$
• $2\pi$
• $5\pi^2$

Αν $x(t)={{t}^{3}}-t$ η συνάρτηση θέσης ενός κινητού, τότε η στιγμιαία ταχύτητα τη χρονική στιγμή $0$ είναι:

• $-1$
• $1$
• $3$
• $-3$

Αν $y={x^2},$ τότε ο ρυθμός μεταβολής της $y$ ως προς $x$ όταν $x=100$ είναι ίσος με $200.$

• Σωστό
• Λάθος

Ο ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης θέσης ενός κινητού είναι ίσος με την επιτάχυνση του κινητού.

• Σωστό
• Λάθος

Το όριο $\lim_{h\to 0}\dfrac{{{\left( 2+h \right)}^{5}}-{{2}^{5}}}{h}$ είναι ίσο με:

• 80
• 60
• 40
• 20

Για κάθε συνεχή συνάρτηση $f:[\alpha,\beta]\mapsto\mathbb{R},$ η οποία είναι παραγωγίσιμη στο $(\alpha,\beta)$ και $f(\alpha)=f(\beta),$ υπάρχει ακριβώς ένα $\xi\in(\alpha,\beta)$ τέτοιο ώστε $f'(\xi)=0.$

• Σωστό
• Λάθος

Αν η συνάρτηση $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ και δεν είναι αντιστρέψιμη, τότε υπάρχει κλειστό διάστημα $[\alpha,\beta]$ στο οποίο η $f$ ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle.

• Σωστό
• Λάθος

Αν $f$ είναι παραγωγίσιμη με συνεχή μη μηδενική παράγωγο σε διάστημα $\Delta,$ τότε η $f$ είναι γνησίως μονότονη.

• Σωστό
• Λάθος

Κάθε συνάρτηση που παραγωγίζεται σε μια ένωση διαστημάτων $\Delta_1\cup\Delta_2$ με μηδενική παράγωγο, είναι σταθερή.

• Σωστό
• Λάθος

Έστω συναρτήσεις $f,g$ ορισμένες σε ένα διάστημα $\Delta.$ Αν οι $f,g$ είναι συνεχείς στο $\Delta$ και $f'(x)=g'(x)$ για κάθε εσωτερικό σημείο $x$ του $\Delta,$ τότε ισχύει $f(x)=g(x)$ για κάθε $x\in\Delta.$

• Σωστό
• Λάθος

Έστω συνάρτηση $f$ ορισμένη και παραγωγίσιμη στο διάστημα $[\alpha,\beta]$ και σημείο $x_0\in[\alpha,\beta]$ στο οποίο η $f$ παρουσιάζει τοπικό μέγιστο. Τότε ισχύει ότι $f'(x_0)=0.$

• Σωστό
• Λάθος

Για κάθε ορισμένη στο $\mathbb{R}$ συνάρτηση $f$ που είναι παραγωγίσιμη και δεν παρουσιάζει ακρότατα, ισχύει $f'(x)\neq 0$ για κάθε $x\in\mathbb{R}.$

• Σωστό
• Λάθος

Αν $f$ είναι παραγωγίσιμη και γνησίως αύξουσα στο $[\alpha,\beta]$ συνάρτηση, τότε υπάρχει $x_0 \in (\alpha,\beta)$ με $f'(x_0)>0.$

• Σωστό
• Λάθος

Αν μια συνάρτηση $f$ παρουσιάζει ολικό μέγιστο, τότε αυτό θα είναι το μεγαλύτερο από τα τοπικά μέγιστα της $f.$

• Σωστό
• Λάθος

Αν η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $[\alpha,\beta]$ και $f(\beta)$ η μέγιστη τιμή της συνάρτησης, τότε $f'(\beta)=0.$

• Σωστό
• Λάθος

Αν μια συνάρτηση παρουσιάζει ακρότατο σε εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού της, τότε αυτή θα είναι παραγωγίσιμη σε αυτό το σημείο και μάλιστα η παράγωγος σε αυτό το σημείο θα είναι μηδενική

• Σωστό
• Λάθος

Αν η συνάρτηση $f$ έχει θετική παράγωγο στο πεδίο ορισμού της, τότε είναι γνησίως αύξουσα.

• Σωστό
• Λάθος

Αν μια συνάρτηση διαθέτει τοπικά ακρότατα, τότε διαθέτει και ολικά ακρότατα.

• Σωστό
• Λάθος

Αν μια συνάρτηση $f$ είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα $\Delta,$ τότε τα εσωτερικά σημεία $x_0$ στα οποία $f'(x_0)\neq 0$ δεν είναι θέσεις τοπικών ακροτάτων της $f.$

• Σωστό
• Λάθος

Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση $f$ που δεν παρουσιάζει ακρότατα στο ανοικτό διάστημα $\Delta.$ Τότε η παράγωγος της $f$ είναι μη μηδενική στο διάστημα αυτό.

• Σωστό
• Λάθος

Αν μια συνάρτηση παρουσιάζει ολικό μέγιστο, τότε αυτό θα είναι το μεγαλύτερο από τα τοπικά της μέγιστα.

• Σωστό
• Λάθος

Κρίσιμα σημεία της συνάρτησης $f$ στο $\Delta$ είναι τα εσωτερικά σημεία του διαστήματος στα οποία η $f$ δεν παραγωγίζεται ή η παράγωγος της είναι μηδενική.

• Σωστό
• Λάθος

Για κάθε συνάρτηση $f,$ το μεγαλύτερο από τα τοπικά μέγιστα της $f,$ εφόσον υπάρχουν, είναι το ολικό μέγιστο της $f.$

• Σωστό
• Λάθος

Δεν υπάρχει γνησίως μονότονη συνάρτηση $f$ σε διάστημα $[\alpha,\beta]$ για την οποία ισχύουν οι υποθέσεις του Θεωρήματος Rolle.

• Σωστό
• Λάθος

Ένα τοπικό μέγιστο μιας συνάρτησης ενδέχεται να είναι μικρότερο από ένα τοπικό ελάχιστο.

• Σωστό
• Λάθος

Αν μια συνάρτηση $f$ είναι συνεχής στο διάστημα $\Delta$ και $f'(x)\neq 0$ για κάθε $x$ στο εσωτερικό του $\Delta,$ τότε η $f$ είναι $1-1.$

• Σωστό
• Λάθος

Έστω μια συνάρτηση $f$ ορισμένη σε ένα διάστημα $\Delta$ και $x_0$ ένα εσωτερικό σημείο του $\Delta.$ Αν η $f$ παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο $x_0$ και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, τότε $f'(x_0)=0.$

• Σωστό
• Λάθος

Αν $f$ είναι γνησίως αύξουσα και παραγωγίσιμη σε ανοικτό διάστημα $\Delta,$ τότε $f'(x)\gt 0$ για κάθε $x\in\Delta.$

• Σωστό
• Λάθος

Αν $f$ είναι παραγωγίσιμη σε ανοικτό διάστημα $\Delta$ και $f'(x)\lt 0$ για κάθε $x\in\Delta,$ τότε είναι γνησίως φθίνουσα.

• Σωστό
• Λάθος

Η συνάρτηση $f(x)={x^3}$ παρουσιάζει ακρότατο για $x=0.$

• Σωστό
• Λάθος

Αν ${f}'(x_{0})=0,$ τότε η $f$ παρουσιάζει τοπικό ακρότατο για $x=x_{0}.$

• Σωστό
• Λάθος

Για κάθε συνάρτηση $f,$ η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα $\Delta$ και γνησίως αύξουσα στο $\Delta,$ ισχύει $f'(x) \gt 0$ σε κάθε εσωτερικό σημείο $x$ του $\Delta.$

• Σωστό
• Λάθος

Αν $f'(x)={{\left( x-2 \right)}^{2}}\left( x+3 \right),$ τότε

• Το $f(-3)$ είναι τοπικό ελάχιστο της $f.$
• Το $f(2)$ είναι τοπικό ελάχιστο της $f.$
• Ισχύουν και οι δύο προτάσεις.
• Δεν ισχύει καμία από τις προτάσεις.

Αν η συνάρτηση $f(x)=\alpha{x^2}+\left( \alpha+1 \right)x+\alpha-1$ παρουσιάζει ελάχιστο για $x=-\dfrac{3}{4},$ τότε το $\alpha$ είναι ίσο με:

• $2$
• $-2$
• $1$
• $-1$

Η κλίση της $f(x)={x^3}-3{x^2}+5$ γίνεται ελάχιστη στο σημείο $x_0.$ Το $x_0$ ισούται με:

• $1$
• $2$
• $0$
• $3$

Αν $\mathup{A}(x_0,f(x_0))$ είναι σημείο καμπής της $C_f$ και η $f$ είναι δύο φορές παραγωγίσιμη, τότε $f(x_0)''=0.$

• Σωστό
• Λάθος

Έστω συνάρτηση $f$ συνεχής σε ένα διάστημα $\Delta$ και δύο φορές παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του $\Delta.$ Αν $f''(x)\lt 0$ για κάθε εσωτερικό σημείο $x$ του $\Delta,$ τότε η $f$ είναι κυρτή στο $\Delta.$

• Σωστό
• Λάθος

Αν μια συνάρτηση $f:\Delta\mapsto\mathbb{R}$ είναι κοίλη στo διάστημα $\Delta,$ τότε το σημείο επαφής $\mathup{A}(x_0,f(x_0))$ της εφαπτομένης της $C_f$ σε κάθε θέση $x_0\in\Delta,$ είναι το μοναδικό κοινό σημείο.

• Σωστό
• Λάθος

Αν μια συνάρτηση $f$ είναι δύο φορές παραγωγίσιμη σε διάστημα $\Delta$ και δεν παρουσιάζει καμπή σε κανένα σημείο του διαστήματος, τότε η δεύτερη παράγωγος είναι μη μηδενική στο $\Delta.$

• Σωστό
• Λάθος

Αν μια συνάρτηση $f,$ η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα $(\alpha,\beta),$ παρουσιάζει στο σημείο $x_0\in(\alpha,\beta)$ καμπή, τότε $f''(x_0)=0.$

• Σωστό
• Λάθος

Υπάρχει πολυωνυμική συνάρτηση βαθμού μεγαλύτερου του $1$ που διαθέτει ασύμπτωτη.

• Σωστό
• Λάθος

Έστω η συνάρτηση $f (x) = \dfrac{x^2 +x +\lambda^2}{x-1}$ ($\lambda\in\mathbb{R}$). Ποια από τις παρακάτω προτάσεις δεν αληθεύει;

• Η $f$ διαθέτει οριζόντια ασύµπτωτη στο $+\infty$ την ευθεία µε εξίσωση $y = 1$
• Η $f$ διαθέτει κατακόρυφη ασύµπτωτη την ευθεία µε εξίσωση $x = 1$
• $\lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty$
• Η $f$ είναι συνεχής στο πεδίο ορισµού της

Η συνάρτηση $f(x)=\dfrac{x^2 -2x -8}{x^2-4}$ διαθέτει κατακόρυφη ασύμπτωτη.

• Σωστό
• Λάθος

Οριζόντια ασύμπτωτη της συνάρτησης $f(x)=\dfrac{6x^3 -5x^2 +7}{2x^3+11x-13}$ είναι η ευθεία:

• $y=3,$ στο $\pm\infty$
• $y=2,$ στο $+\infty$
• $y=-2,$ στο $-\infty$
• Δεν διαθέτει οριζόντια ασύμπτωτη

Η πλάγια ασύμπτωτη της συνάρτησης $f(x)=\sqrt{x^2 +1}-x$ είναι η ευθεία:

• $y=-2x,$ στο $-\infty$
• $y=2x,$ στο $+\infty$
• $y=x-2,$ στο $-\infty$
• $y=x+2,$ στο $+\infty$

Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης $f$ μπορεί να τέμνει την ασύμπτωτή της.

• Σωστό
• Λάθος

Το $\lim_{x\to 0}\dfrac{\ln(x+1)}{x}$ ισούται με:

• $1$
• $\ln 2$
• $2$
• $\dfrac{1}{2}$

Το $\lim_{x\to -\infty}(x^2 e^x)$ ισούται με:

• $0$
• $+\infty$
• $-\infty$
• $e^{-1}$

Το $\lim_{x\to +\infty}\left(1+\dfrac{2}{x}\right)^x$ ισούται με:

• $e^2$
• $0$
• $1$
• $+\infty$

Το $\lim_{x\to 0}\dfrac{e^x -\gcos x}{\ln(x+1)}$ ισούται με:

• $1$
• $-2$
• $0$
• $\dfrac{1}{2}$

Το $\lim_{x\to +\infty}\dfrac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$ ισούται με:

• $1$
• $-1$
• $2$
• $-2$

Το όριο $\lim_{x\to \pi}\dfrac{\gcos^2 x + \gcos x}{\gsin^2 x}$ ισούται με:

• $-\dfrac{1}{2}$
• $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
• $-1$
• Το όριο δεν υπάρχει

Το $\lim_{x\to 0+}(x\ln x)$ ισούται με:

• $0$
• $1$
• $-1$
• $\ln 2$

Αν $F,G$ είναι αρχικές της συνάρτησης $f$ στο διάστημα $\Delta,$ τότε η $F-G$ είναι σταθερή συνάρτηση

• Σωστό
• Λάθος

Αν $f$ είναι συνεχής και περιττή στο $\mathbb{R}$ με αρχική συνάρτηση $F,$ τότε η $F(-x)$ είναι επίσης αρχική της $f.$

• Σωστό
• Λάθος

Αν $f$ είναι συνεχής και άρτια στο $\mathbb{R}$ με αρχική συνάρτηση $F,$ τότε η $F$ είναι επίσης άρτια.

• Σωστό
• Λάθος

Η $F(x)=\ln(x+\sqrt{x^2+1})$ είναι αρχική της:

• $\dfrac{1}{\sqrt{x^2 +1}}$
• $\dfrac{1}{x+\sqrt{x^2 +1}}$
• $\dfrac{1}{x-\sqrt{x^2 +1}}$
• $x+\sqrt{x^2 +1}$

Αρχική της $\ln x$ είναι η:

• $x(\ln x -1)$
• $\dfrac{1}{x}$
• $\dfrac{\ln^2 x}{2}$
• $\dfrac{\ln^3 x}{3}$

Αρχική της $\dfrac{1}{4-x}$ στο $(4,+\infty)$ είναι η:

• $-\ln(x-4)$
• $\ln(x-4)$
• $-\ln(4-x)$
• $\ln(4-x)$

Μια παράγουσα της $\dfrac{e^{2x}+x}{e^{2x}+x^2}$ είναι η:

• $\dfrac{1}{2}\ln(e^{2x}+x^2)$
• $\dfrac{1}{2}\ln|e^{2x}-x^2|$
• $\dfrac{1}{2}\ln|e^{2x}+2x|$
• $\dfrac{1}{2}\ln(e^{2x}+x^2 +x)$

Μια παράγουσα της $xe^{2x}$ είναι η:

• $\dfrac{xe^{2x}}{2}-\dfrac{e^{2x}}{4}+1$
• $\dfrac{xe^{2x}}{2}+\dfrac{e^{2x}}{4}+x$
• $\dfrac{e^{2x}}{2}-\dfrac{xe^{2x}}{4}-1$
• $\dfrac{e^{2x}}{2}+\dfrac{xe^{2x}}{4}+e^x$

Μια παράγουσα της $\ln x$ είναι η:

• $x\ln x-x$
• $x\ln x+x$
• $x+\ln x$
• $\dfrac{\ln x}{x}$

Έστω $G$ παράγουσα της συνάρτησης $f$ στο διάστηµα $[\alpha, \beta].$ Τότε το $\dint_\alpha^\beta f(x)dx$ ισούται µε:

• $G(\beta)-G(\alpha)$
• $G(\alpha)-G(\beta)$
• $\dfrac{G(\beta)-G(\alpha)}{\beta-\alpha}$
• $\beta-\alpha$

Μια παράγουσα της $2x-\gsin x +e^x$ είναι η:

• $x^2 +\gcos x +e^x$
• $x +\gcos x +e^x$
• $2 -\gcos x +e^x$
• $x +\gsin x +e^x$

Μια παράγουσα της $2x\gsin x + x^2 \gcos x$ είναι η:

• $x^2 \gsin x$
• $x^2 \gcos x$
• $-x^2 \gcos x +\dfrac{x^3}{3}\gsin x$
• $\dfrac{x^3}{3} \gtan x$

Μια παράγουσα της $e^x (\gcos x -\gsin x)$ είναι η:

• $e^x \gcos x$
• $e^x \gsin x$
• $e^x (\gcos x +\gsin x)$
• $e^x (\gsin x -\gcos x)$

Μια παράγουσα της $x \gsin(3x^2)$ είναι η:

• $-\dfrac{\gcos(3x^2)}{6}$
• $-\dfrac{\gsin(3x^2)}{6}$
• $\dfrac{\gcos(x^3)}{6}$
• $\dfrac{\gsin(x^3)}{6}$

Αν $f'(x)=\gsin\pi x$ και $f(0)=0,$ τότε η τιμή $f(1)$ ισούται με:

• $\dfrac{2}{\pi}$
• $-\dfrac{2}{\pi}$
• $\dfrac{1}{\pi}$
• $-\dfrac{1}{\pi}$

Αν $f'(x)=g'(x)$ για $x\in[-1,1]$ και $f(0)=g(0)+2,$ τότε:

• $\dint_{-1}^1 (f(x)-g(x))dx=4$
• $f(x)=g(x)-2,\quad$ $x\in[-1,1]$
• $f(x)\leq g(x),\quad$ $x\in[-1,1]$
• Οι $C_f, C_g$ διαθέτουν κοινό σημείο στο $[-1,1]$

Αν η $F (x) = \dfrac{x}{e^x}$ είναι παράγουσα της συνάρτησης $f,$ τότε το $\dint_0^1 f(x)dx$ ισούται με:

• $\dfrac{1}{e}$
• $e$
• $1-\dfrac{1}{e}$
• $0$

Το $\dint_{-1}^0 x^2 dx$ ισούται με:

• $\dfrac{1}{3}$
• $-\dfrac{1}{3}$
• $2$
• $-\dfrac{1}{2}$

Το $\dint_0^1 (x-1)^2 (3x+2)dx$ ισούται με:

• $\dfrac{11}{12}$
• $\dfrac{10}{11}$
• $\dfrac{12}{13}$
• $\dfrac{13}{14}$

Το $\dint_1^4 \left(\gcos\pi x +\sqrt{x}\right)dx$ ισούται με:

• $\dfrac{14}{3}$
• $\dfrac{15}{4}$
• $0$
• $\dfrac{1}{3}$

Το $\dint_0^\pi \dfrac{e^x + \gcos x}{e^x + \gsin x}dx$ ισούται με:

• $\pi$
• $2\pi$
• $e$
• $e^{-1}$

Αν $\dint_\alpha^3 (3x^2-\alpha x)dx=14,$ τότε το $\alpha$ ισούται με:

• $14$
• $-7$
• $0$
• $-1$

Ισχύει $\dint_0^\pi \gcos(-x)dx = \dint_\pi^0 \gcos xdx.$

• Σωστό
• Λάθος

Το $\dint_1^2 (3x^2 -4)\ln x dx$ ισούται με:

• $\dfrac{2}{3}$
• $1$
• $\dfrac{4}{3}$
• $\dfrac{3}{5}$

Το $\dint_0^\pi x\gsin 2xdx$ ισούται με:

• $-\dfrac{\pi}{2}$
• $\dfrac{\pi}{3}$
• $-\dfrac{\pi}{4}$
• $\dfrac{\pi}{6}$

Το $\dint_0^2 x^2 e^x dx$ ισούται με:

• $2e^2 -2 $
• $e-1$
• $3-e$
• $4-e^2$

Το $\dint_0^1 \dfrac{x^2}{e^x}dx$ ισούται με:

• $2-\dfrac{5}{e}$
• $1+\dfrac{2}{e}$
• $2e+5$
• $1-4e$

Το $\dint_0^1 \dfrac{1}{1 + e^x} dx$ ισούται με:

• $1-\ln(e+1)+\ln 2$
• $2-\ln(e+1)-\ln 2$
• $2+\ln(e+1)-\ln 2$
• $1+\ln(e+1)+\ln 2$

Ισχύει $\dint_1^2 \ln x dx = \dint_2^1 \ln\dfrac{1}{x}dx.$

• Σωστό
• Λάθος

Το $\dint_0^\frac{\pi}{2} e^x \gcos x dx$ ισούται με:

• $\dfrac{e^\frac{\pi}{2}-1}{2}$
• $\dfrac{e^\frac{\pi}{2}+1}{2}$
• $\dfrac{e^\pi-1}{2}$
• $\dfrac{e^\pi+1}{2}$

Το $\lim_{\alpha\to 0+}\dint_\alpha^1 2x\ln xdx$ ισούται με:

• $-\dfrac{1}{2}$
• $\dfrac{2}{e}$
• $\dfrac{\ln 2}{2}$
• $-1$

Το $\dint_1^{e^5}\dfrac{1}{x\sqrt{4+\ln x}} dx$ ισούται με:

• $2$
• $5$
• $0$
• $4$

Το $\dint_{-1}^2 (3x^2 -2|x-1|)dx$ ισούται με:

• $4$
• $3$
• $-2$
• $\dfrac{2}{3}$

Το $\dint_1^{e^\pi} \dfrac{\gsin(\ln x)}{x} dx$ ισούται με:

• $2$
• $\pi$
• $e^{\pi}-\dfrac{1}{4}$
• $e$

Το $\dint_{-1}^2 \dfrac{x}{\sqrt{x+2}}dx$ ισούται με:

• $\dfrac{2}{3}$
• $4$
• $\sqrt{3}$
• $-2$

Το $\dint_0^{\frac{\pi}{2}} \gcos^3 xdx$ ισούται με:

• $\dfrac{2}{3}$
• $\dfrac{3}{4}$
• $\dfrac{4}{5}$
• $\dfrac{5}{6}$

Το $\dint_{-1}^1 \dfrac{x^2}{e^x +1}dx$ ισούται με:

• $\dfrac{1}{3}$
• $\dfrac{1}{2}$
• $\dfrac{3}{2}$
• $\dfrac{2}{5}$

Το $\dint_0^{\frac{\pi}{2}} x\gcos x dx$ ισούται με:

• $\dfrac{\pi}{2}-1$
• $1-\dfrac{\pi}{3}$
• $\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{1}{3}$
• $\dfrac{5\pi}{6}$

Το $\dint_0^{\frac{\pi}{2}} x^2 \gsin x dx$ ισούται με:

• $\pi-2$
• $\dfrac{\pi}{2}-1$
• $\pi-3$
• $1-\dfrac{\pi}{6}$

Το $\dint_0^{\frac{\pi}{6}} (3x^2 +2)\gcos 3x dx$ ισούται με:

• $\dfrac{\pi^2 + 16}{36}$
• $\dfrac{\pi + 4}{9}$
• $\dfrac{\pi^2}{25}+1$
• $\dfrac{2\pi + 1}{3}$

Το $\dint_1^2 \ln x dx$ ισούται με:

• $2\ln2 -1$
• $2-\ln 2$
• $2\ln 2$
• $1+\ln 2$

Το $\dint_0^1 (x+2)(x-1)^5 dx$ ισούται με:

• $-\dfrac{5}{14}$
• $-\dfrac{4}{7}$
• $-\dfrac{1}{14}$
• $\dfrac{7}{4}$

Το $\dint_1^2 \dfrac{\ln x}{x^2} dx$ ισούται με:

• $\dfrac{1-\ln2}{2}$
• $\dfrac{2-\ln2}{2}$
• $\dfrac{2+\ln2}{2}$
• $\dfrac{1+\ln2}{2}$

Αν η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R},$ τότε $\left(\dint_\alpha^\beta f(x)dx\right)'=f(x).$

• Σωστό
• Λάθος

Αν $f$ συνεχής στο $[\alpha, \beta]$ και $\dint_\alpha^\beta f(x)dx \gt 0,$ τότε υπάρχει $x_0\in[\alpha, \beta]$ με $f(x_0)\gt 0.$

• Σωστό
• Λάθος

Αν $f$ συνεχής και μη θετική στο $[3, 4],$ τότε $\dint_4^3 f(x)dx \geq 0.$

• Σωστό
• Λάθος

Έστω $f$ συνεχής και μη αρνητική στο $[\alpha, \beta].$ Αν η $f$ δεν είναι παντού μηδενική στο διάστημα, τότε $\dint_\alpha^\beta f(x)dx \gt 0.$

• Σωστό
• Λάθος

Έστω $f$ συνεχής και όχι σταθερή στο $[\alpha, \beta]$ συνάρτηση. Αν $\dint_\alpha^\beta f(x)dx = 0,$ τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα ζεύγος ετερόσημων τιμών της $f.$

• Σωστό
• Λάθος

Αν $f$ είναι συνεχής στο διάστημα $\Delta$ και $\alpha,\beta,\gamma\in\Delta,$ τότε $\dint_\alpha^\beta f(x)dx=\dint_\alpha^\gamma f(x)dx - \dint_\beta^\gamma f(x)dx.$

• Σωστό
• Λάθος

Αν $f$ συνεχής στο $[\alpha, \beta]$ και $\dint_\alpha^\beta f(x)dx \lt 0,$ τότε υπάρχει $x_0\in[\alpha, \beta]$ με $f(x_0) = 0.$

• Σωστό
• Λάθος

Ισχύει η σχέση \[\dint_\alpha^\beta f(x)g'(x)dx=[f(x)g(x)]_\alpha^\beta-\dint_\alpha^\beta f'(x)g(x)dx,\] όπου $f',g'$ είναι συνεχείς συναρτήσεις στο $[\alpha,\beta].$

• Σωστό
• Λάθος

Αν η $f'$ είναι συνεχής στο $[\alpha,\beta],$ τότε \[\dint_\alpha^\beta f(x)dx = [xf(x)]_\alpha^\beta - \dint_\alpha^\beta xf'(x)dx.\]

• Σωστό
• Λάθος

Αν η $f$ είναι συνεχής και περιττή συνάρτηση στο $\mathbb{R},$ τότε $\dint_{-\alpha}^\alpha f(x)dx=0,$ για κάθε $\alpha\in\mathbb{R}.$

• Σωστό
• Λάθος

Έστω $f$ μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα $[\alpha,\beta].$ Αν ισχύει ότι $f(x)\geq 0$ για κάθε $x\in[\alpha,\beta]$ και η συνάρτηση $f$ δεν είναι παντού μηδενική στο διάστημα, τότε $\dint_\alpha^\beta f(x)dx>0.$

• Σωστό
• Λάθος

Αν μια συνάρτηση $f$ είναι συνεχής στο διάστημα $[\alpha,\beta]$ και ισχύει $f(x)\geq 0$ για κάθε $x\in[\alpha,\beta],$ τότε $\dint_\alpha^\beta f(x)dx\geq 0.$

• Σωστό
• Λάθος

Αν $\dint_\alpha^\beta f(x)dx = 0,$ όπου $f$ συνεχής στο $[\alpha, \beta],$ τότε η $f$ διατηρεί πρόσημο.

• Σωστό
• Λάθος

Αν $\dint_\alpha^\beta f(x)dx = 0,$ όπου $f$ συνεχής στο $[\alpha, \beta],$ τότε $f(x)=0$ στο $[\alpha, \beta].$

• Σωστό
• Λάθος

Αν $\dint_\alpha^\beta f^2(x)dx = 0,$ όπου $f$ συνεχής στο $[\alpha, \beta],$ τότε $f(x)=0$ στο $[\alpha, \beta].$

• Σωστό
• Λάθος

Αν η $f$ είναι συνεχής και άρτια συνάρτηση στο $\mathbb{R},$ τότε, για κάθε $\alpha\in\mathbb{R},$ το $\dint_{-\alpha}^\alpha f(x)dx$ ισούται με:

• $2\dint_0^\alpha f(x)dx$
• $0$
• $\dint_{\alpha}^{-\alpha} f(x)dx$
• $2\alpha f(\alpha)$

Αν η συνάρτηση $f$ διαθέτει συνεχή δεύτερη παράγωγο στο $\mathbb{R}$ και παρουσιάζει ακρότατα στα σημεία $\alpha,\beta,$ τότε $\dint_\alpha^\beta f''(x)dx=0.$

• Σωστό
• Λάθος

Αν $\dint_\alpha^\beta |f(x)|dx = 0,$ όπου $f$ συνεχής στο $[\alpha, \beta],$ τότε $f(x)=0$ στο $[\alpha, \beta].$

• Σωστό
• Λάθος

Αν $f,$ $g$ συνεχείς στο $[\alpha, \beta]$ συναρτήσεις με $f(x)\lt g(x),$ για κάθε $x\in[\alpha, \beta],$ τότε $\dint_\alpha^\beta f(x)dx\lt \dint_\alpha^\beta g(x)dx.$

• Σωστό
• Λάθος

Αν $\dint_\alpha^\beta f(x)dx\gt 0,$ όπου $f$ συνεχής συνάρτηση στο $[\alpha,\beta],$ τότε η $f$ είναι θετική στο $[\alpha,\beta].$

• Σωστό
• Λάθος

Αν $f,g$ είναι συνεχείς συναρτήσεις στο διάστημα $[\alpha,\beta],$ τότε \[\dint_\alpha^\beta f(x)g(x)dx=\dint_\alpha^\beta f(x)dx\dint_\alpha^\beta g(x)dx.\]

• Σωστό
• Λάθος

Αν $f$ συνεχής στο $[0,1]$ συνάρτηση με $\dint_0^1 e^{f(x)}dx=1,$ τότε η $f$ δεν είναι θετική συνάρτηση.

• Σωστό
• Λάθος

Αν $f,g$ συνεχείς συναρτήσεις στο $[\alpha,\beta]$ και $\dint_\alpha^\beta f(x)dx=\dint_\alpha^\beta g(x)dx,$ τότε $f(x)=g(x)$ για κάθε $x\in[\alpha,\beta].$

• Σωστό
• Λάθος

Αν η $f$ είναι συνεχής στο $[\alpha,\beta],$ τότε ισχύει $\dint_\alpha^\beta f(x)dx=−\dint_\beta^\alpha f(x)dx.$

• Σωστό
• Λάθος

Αν $\dint_\alpha^\beta f'(x)dx=0$ ($\alpha\neq\beta$), τότε ισχύει πάντοτε ότι:

• $f(\alpha)=f(\beta)$
• $f'(\alpha)=f'(\beta)$
• $f(\alpha)=-f(\beta)$
• $f'(\alpha)=f'(\beta)$

Αν $f,$ $g$ συνεχείς στο $[\alpha, \beta]$ συναρτήσεις με $f(x)\leq g(x),$ για κάθε $x\in[\alpha, \beta],$ τότε $\dint_\alpha^\beta f(x)dx\leq \dint_\alpha^\beta g(x)dx.$

• Σωστό
• Λάθος

Το εμβαδό του χωρίου $\Omega$ μεταξύ της γραφικής παράστασης της συνεχούς συνάρτησης $f,$ του άξονα $x'x$ και των ευθειών $x=\alpha,$ $x=\beta,$ με $\alpha\lt\beta,$ ισούται με $\dint_\alpha^\beta f(x)dx.$

• Σωστό
• Λάθος

Το εμβαδό του χωρίου που οριοθετείται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $f(x)=x^2 -x-2,$ τον άξονα $x'x,$ και τις ευθείες $x-2,$ $x=3$ ισούται με:

• $\dfrac{49}{6}$
• $\dfrac{25}{5}$
• $\dfrac{36}{9}$
• $\dfrac{16}{3}$

Το εμβαδό του χωρίου που οριοθετείται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $f(x)=x^3 -2x^2-x+2$ και τον άξονα $x'x$ ισούται με:

• $\dfrac{37}{12}$
• $\dfrac{25}{18}$
• $\dfrac{40}{13}$
• $\dfrac{23}{6}$

Το εμβαδό του χωρίου που οριοθετείται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων $f(x)=e^x,$ $g(x)=1-x$ και τις ευθείες $x=-1,$ $x=1$ ισούται με:

• $\dfrac{1}{e}+e-1$
• $e-1$
• $\dfrac{1}{e}+e$
• $\dfrac{1}{e}-1$

Το εμβαδό του χωρίου που οριοθετείται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων $f(x)=x^3+x,$ $g(x)=x^2+3x$ ισούται με:

• $\dfrac{37}{12}$
• $\dfrac{23}{15}$
• $\dfrac{13}{11}$
• $\dfrac{41}{6}$

Αν $f,g$ συνεχείς στο $[\alpha,\beta],$ τότε το εμβαδό του χωρίου μεταξύ $C_f,$ $C_g,$ $x=\alpha,$ $x=\beta$ ισούται με $\dint_\alpha^\beta |f(x)-g(x)|dx.$

• Σωστό
• Λάθος