Συνέχεια

Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια στο σημείο $x_0$ τη συνάρτηση $f$ όταν:

1. $f(x)=\begin{cases}3x-5,& x\lt 3 \\ 3,&x=3 \end{cases},\quad$ $x_0=3$
2. $f(x)=\begin{cases}4x^2-3, &x\lt 2 \\ 6x+1, &x\geq 2\end{cases},\quad$ $x_0=2$
3. $f(x)=\begin{cases}\dfrac{ x^2-x-2}{x-2},&x\neq 2 \\3,&x=2\end{cases},\quad$ $x_0=2$
4. $f(x)=\begin{cases}\dfrac{x^2-1}{x+1},&x\lt -1 \\ 4,&x=-1\\ 2x, &x\gt -1\end{cases},\quad$ $x_0=-1$
5. $f(x)=\begin{cases} x^2+1,& x\leq 0 \\ \dfrac{\gcos x-x^2}{x^2},&x\gt 0 \end{cases},\quad$ $x_0=0$
6. $f(x)=\begin{cases}\dfrac{1-\gcos x}{x^2},&x\lt 0 \\[2ex] \gcos\dfrac{x}{2},&x\geq 0 \end{cases},\quad$ $x_0=0$

Αν η συνάρτηση $f$ είναι συνεχής στο $2,$ αποδείξτε ότι και η συνάρτηση $g$ με τύπο $g(x)= x^2+\gsin f(x)$ είναι συνεχής στο $2.$

Αν η συνάρτηση $f$ είναι συνεχής στο $1,$ αποδείξτε ότι η συνάρτηση $g$ με τύπο $g(x)=x^2+f(\gcos x)$ είναι συνεχής στο $0.$

Αν οι συναρτήσεις $f,g$ είναι συνεχείς στο $x_0$ και \[h(x)=\begin{cases} f(x),&x\lt x_0 \\g(x), &x\geq x_0\end{cases}\] αποδείξτε ότι η $h$ είναι συνεχής στο $x_0$ αν και μόνο αν $f(x_0)=g(x_0).$

Δίνονται οι συναρτήσεις $f,g$ με πεδίο ορισμού ένα διάστημα $\Delta$ και $x_0\in \Delta.$ Θεωρούμε ότι οι συναρτήσεις $F(x)= 3f(x)-g(x)$ και $G(x)= f(x)+2g(x)$ είναι συνεχείς στο $x_0.$ Να αποδείξετε ότι οι $f,g$ είναι συνεχείς στο $x_0.$

Έστω οι συναρτήσεις $f,g: \mathbb{R}\to\mathbb{R},$ με την $g$ συνεχή στο $x_0\in\mathbb{R}.$ Αποδείξτε ότι αν η $f+g$ είναι ασυνεχής στο $x_0$ τότε η f είναι επίσης ασυνεχής στο $x_0.$

Έστω συνάρτηση $f,$ συνεχής στο $x_0=4,$ με $f(x)=\dfrac{5x^2-21x+4}{x-4},$ για οποιοδήποτε $x\in\mathbb{R}\setminus\{4\}.$ Να προσδιορίσετε τον τύπο της $f.$

Έστω $f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ συνεχής στο $2$ συνάρτηση με \[(x-2)f(x)=x^2-5x+6, \tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb{R}.$

1. Να υπολογίσετε την τιμή $f(2).$
2. Να προσδιορίσετε τον τύπο της $f.$

Έστω συνάρτηση $f,$ συνεχής στο $0.$ Να προσδιορίσετε το $f(0)$ σε καθεµία από τις παρακάτω περιπτώσεις:

1. $xf (x) + x^2=3\gsin x-5x^2,\quad$ $x\in\mathbb{R}$
2. $xf (x)=x^2 f (x)+2(x^3-x^2),\quad$ $x\in\mathbb{R}$

Σε καθεµία από τις παρακάτω περιπτώσεις αποδείξτε ότι η συνάρτηση $f$ είναι συνεχής στο $0$:

1. $f^2(x) + 4\leq 4\gsin^2 x-4f (x),\quad$ $x\in\mathbb{R}$
2. $4f^2(x)+9\leq 12f (x) + x^2,\quad$ $x\in\mathbb{R}$

Σε καθεµία από τις παρακάτω περιπτώσεις αποδείξτε ότι οι συναρτήσεις $f,g$ είναι συνεχείς στο $x_0$:

1. $f^2(x)+g^2(x)\leq (x-x_0)^2,\quad$ $x\in\mathbb{R}$
2. $|f (x)|+|g(x)|\leq |x-x_0|,\quad$ $x\in\mathbb{R}$

Αν η συνάρτηση $f$ είναι συνεχής στο $x_0=1$ και ισχύει \[3x^2-5x+2\leq (x-1)f(x)\leq x^2-x, \tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb{R},$ να υπολογίσετε την τιμή $f(1).$

Αν η συνάρτηση $f$ είναι συνεχής στο $x_0=4$ και ισχύει \[(x-4)f(x)\leq 16-x^2,\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb{R},$ να υπολογίσετε την τιμή $f(4).$

Δίνεται συνάρτηση $f,$ συνεχής στο $x_0=0,$ για την οποία ισχύει \[\dfrac{2x^2-\gsin^2 x}{x^2+x^4}\leq f(x)\leq 2\dfrac{e^x-e^{x^2}}{x},\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\neq 0.$ Να προσδιορίσετε την τιμή $f(0).$

Δίνεται η συνεχής στο $0$ συνάρτηση $f:[0,+\infty)\to\mathbb{R}$ για την οποία ισχύει \[g(x)\leq 3+xf(x)\leq h(x),\tag{$\ast$}\] όπου \[ \begin{align} g(x)&=\sqrt{x^2 +2x+9},\\ h(x)&=x^8\gsin\dfrac{2}{x}+\dfrac{x}{3}+3, \end{align} \] για κάθε $x\gt 0.$ Να προσδιορίσετε:

1. Τα όρια $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sqrt{x^2 +2x+9}-3}{x},$ $\lim\limits_{x\to 0}\left(x^7\gsin\dfrac{2}{x}\right)$ και $\lim\limits_{x\to 0}f(x).$
2. Την τιμή $f(0).$

Έστω $f,g: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ συναρτήσεις τέτοιες ώστε \[|f(x)-\gcos x|\leq g(x),\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb{R}.$ Αν η $g$ είναι συνεχής στο $0$ και η $C_g$ διέρχεται από την αρχή των αξόνων, αποδείξτε ότι η $f$ είναι συνεχής στο $0.$

Δίνεται συνεχής στο $x_0=0$ συνάρτηση $f$ με \[xf(x)+|\gsin x|\leq|x|,\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb{R}.$ Να υπολογίσετε την τιμή $f(0).$

Θεωρούμε συνάρτηση $f,$ συνεχή στο $3,$ για την οποία ισχύει \[|f(x)|\leq x^2-6x+9, \tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb{R}\setminus\{3\}.$ Να προσδιορίσετε την τιμή $f(3).$

Θεωρούμε συνάρτηση $f,$ για την οποία ισχύει \[|f(x)+5x|\leq (x+2)^4, \tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb{R}.$ Να αποδειχθεί ότι η $f$ είναι συνεχής στο $x_0=-2.$

Έστω $f$ συνάρτηση για την οποία ισχύει \[(f(x)-x^2)(f(x)-x^4)\leq 0,\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb{R}.$

1. Αποδείξτε ότι η $f$ είναι συνεχής στο $0.$
2. Υπολογίστε το όριο $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x).$

Αν για τη συνάρτηση $f$ ισχύει ότι \[|f(x)|\leq x^2-10x+25, \tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb{R},$ αποδείξτε ότι η $f$ είναι συνεχής στο $x_0=5$ αν και μόνο αν $f(5)=0.$

Θεωρούµε τη συνάρτηση $f$ για την οποία ισχύει \[2\Big(1+\sqrt{\gsin x}\Big)\leq f(x) \leq 3 + \gsin x, \tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in[0, \pi].$

1. Αποδείξτε ότι η $f$ είναι συνεχής στο $\dfrac{\pi}{2}.$
2. Αν $g(x)=\gcos^2 x$ και $h(x)=f (x) - 4,$ να προσδιορίσετε το όριο $\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{2}}\dfrac{g(x)}{h(x)}.$

Δίνεται συνάρτηση $f,$ για την οποία ισχύουν $f(0)=0$ και $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(x)}{x}=1.$ Αποδείξτε ότι η $f$ είναι συνεχής στο $x_0=0.$

Έστω $f:(-1,1)\to\mathbb{R}$ συνάρτηση ώστε τα όρια \[\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{f(x)-f(0)}{x}\ \textnormal{και}\ \lim\limits_{x\to 0^-}\dfrac{f(x)-f(0)}{x}\] να είναι πραγματικοί αριθμοί. Αποδείξτε ότι η $f$ είναι συνεχής στο $0.$

Δίνεται συνεχής στο $1$ συνάρτηση $f,$ για την οποία ισχύει ότι \[\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{f(x)-\sqrt{x}+\gsin(x-1)}{x^2-1}=2.\]

1. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της $f$ διέρχεται από το σημείο $\textnormal{M}(1,1).$
2. Να προσδιορίσετε το $\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{|3f(x)-2|-1}{x^2-1}.$

Αν για τη συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ισχύει ότι $\lim\limits_{x\to 4}\dfrac{f(x)(3x^2-48)}{3x-6}=-\infty,$ εξετάστε αν η $f$ είναι συνεχής στο σημείο $x_0=4.$

Έστω συνεχής στο $x_0=1$ συνάρτηση $f$ με $\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{f(x)-x-3}{x-1}=\dfrac{11}{4}.$

1. Αποδείξτε ότι το σημείο $\textnormal{Α}(1,4)$ ανήκει στην γραφική παράσταση της $f.$
2. Προσδιορίστε το $\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}.$

Έστω συνάρτηση $f,$ ορισμένη στο $\mathbb{R},$ με $f(0)=3$ και $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(x)-3-\gtan x}{x^2-x}=5.$

1. Αποδείξτε ότι η $f$ είναι συνεχής στο $x_0=0.$
2. Υπολογίστε το όριο $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(x)-3}{x}.$

Δίνεται περιττή και συνεχής στο $x_0=1$ συνάρτηση $f$ με $\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{f(x)-5}{x-1}=10.$

1. Να προσδιορίσετε την τιμή $f(1).$
2. Να αποδείξετε ότι η $f$ είναι συνεχής στο $x_0=-1.$
3. Να προσδιορίσετε το $\lim\limits_{x\to -1}\dfrac{f(x)+5}{x+1}.$

Έστω συνάρτηση $f:[0,+\infty) \to\mathbb{R},$ συνεχής στο $x_0=0,$ με \[|f(x)-x|\leq xe^{-\frac{1}{x^2}},\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in(0,+\infty).$

1. Να προσδιορίσετε την τιμή $f(0).$
2. Να υπολογίσετε το όριο $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(x)}{x}.$

Δίνεται συνάρτηση $f,$ συνεχής στο σημείο $x_0\in\mathbb{R}.$

1. Αν η $f$ είναι άρτια, αποδείξτε ότι η $f$ είναι συνεχής στο σημείο $-x_0.$
2. Αν η $f$ είναι περιττή, αποδείξτε ότι η $f$ είναι συνεχής στο σημείο $-x_0.$

Έστω συνάρτηση $f,$ συνεχής στο $2,$ με $f(3)=10$ και \[f(5-x)=f(x), \tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb{R}.$

1. Να προσδιορίσετε την τιμή $f(2).$
2. Να αποδείξετε ότι η $f$ είναι συνεχής στο $3.$

Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια τη συνάρτηση $f$ όταν:

1. $f(x)=\begin{cases} x^3-5,& x\leq 2\\ \dfrac{2-x}{\sqrt{x}-\sqrt{2}},&x\gt 2\end{cases}$
2. $f(x)=\begin{cases}\dfrac{|x^2-1|}{x+1},&x\neq -1 \\ -2,&x=-1\end{cases}$

Να προσδιορίσετε την τιμή του $\alpha\in\mathbb{R}$ ώστε η συνάρτηση $f$ να είναι συνεχής, όταν:

1. $f(x)=\begin{cases}\dfrac{3x^2-2x-1}{x-1},&x\neq 1\\ \alpha,&x=1\end{cases}$
2. $f(x)=\begin{cases}\alpha x+1,&x\leq 1\\ \dfrac{1-x\sqrt{x}}{x-1},&x\gt 1\end{cases}$
3. $f(x)=\begin{cases}\dfrac{1+\gcos x}{x-\pi},&x\lt \pi \\ \alpha x+2,&x\geq\pi\end{cases}$
4. $f(x)=\begin{cases}\dfrac{3\ln x-2}{2-\ln x},&x \gt 0 \\ \alpha,& x=0 \end{cases}$
5. $f(x)=\begin{cases}\dfrac{3\alpha}{x^3}+1,&0\lt x\leq 2 \\[1ex] \dfrac{1-\sqrt{x-1}}{x^2-4},&x \gt 2\end{cases}$
6. $f(x)=\begin{cases}3\alpha e^{x+1}+x,&\lt x\leq -1 \\ 2x^2-\alpha x,&x \gt -1\end{cases}$

Θεωρούμε τις συναρτήσεις \[f(x)=\begin{cases} 3, & x\neq 1\\ 0,&x=1\end{cases}\ \ \textnormal{και}\ \ g(x)= 3x-2.\] Να εξετάσετε ως προς τη συνέχεια τις συναρτήσεις $g\circ f$ και $f\circ g.$

Δίνονται συνεχείς συναρτήσεις $f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ για τις οποίες ισχύουν \[ \begin{align} \lim\limits_{x \to 6}\dfrac{f(x)}{x - 6}&=1,\\[1ex] \lim\limits_{x \to 6}\left(g(x)\cdot\left(\sqrt{x-2}-2\right)\right)&=2. \end{align} \] Να εξετάσετε τη συνάρτηση \[h(x)=\begin{cases}f(x)\cdot g(x),& x\neq 6\\ 8,&x=6\end{cases}\] ως προς τη συνέχεια.

Να προσδιορίσετε τις τιμές των $\lambda , \mu\in\mathbb{R}$ ώστε η συνάρτηση \[f(x)=\begin{cases} 2x^2+(\lambda^3+1)x-2,&\!\! x\lt 1\\ x^4-(\lambda^2+\mu+1)x^2-3\lambda, &\!\! x\geq 1\end{cases}\] να είναι συνεχής και η γραφική της παράσταση να διέρχεται από το σημείο $\textnormal{Α}(2,3).$

Να προσδιορίσετε τις τιμές των $\alpha, \beta\in\mathbb{R}$ ώστε η συνάρτηση \[f(x)=\begin{cases}\alpha^2 \gsin x-\beta,&x\lt 0\\ 2x+\alpha,& 0\leq x\leq\frac{\pi}{2}\\ 2\alpha\gsin x,&x\geq\frac{\pi}{2} \end{cases}\] να είναι συνεχής.

Να προσδιορίσετε τις τιμές των $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ ώστε η συνάρτηση \[f(x)=\begin{cases}\alpha x+\beta,&x\lt 2\\ 2x,&2\leq x\lt 3\\ \dfrac{4\alpha x^2}{9}+\beta x,&x\geq 3\end{cases}\] να είναι συνεχής.

Δίνεται συνεχής συνάρτηση $f:[a,b] \to\mathbb{R},$ όπου $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ με $\alpha\lt \beta.$ Αποδείξτε ότι η συνάρτηση \[g(x)=\begin{cases} f(\alpha),&x\leq\alpha \\ f(x), &\alpha\lt x\lt \beta\\ f(\beta), &x\geq\beta \end{cases}\] είναι συνεχής.

Δίνεται συνεχής στο διάστημα $[0,2]$ συνάρτηση $f$ με $f(0)=f(1).$ Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια τις παρακάτω συναρτήσεις:

1. $g(x)=\begin{cases} f(3x), & 0\leq x\lt \frac{1}{3}\\ f(3x-1), & \frac{1}{3}\leq x\leq 1\end{cases}$
2. $h(x)=\begin{cases} f(3x), & 0\leq x\leq\frac{1}{3}\\ f(3x-1), & \frac{1}{3}\lt x\leq \frac{2}{3}\\ f(3x-2),& \frac{2}{3}\lt x\leq\frac{4}{3}\end{cases}$

Για τη συνάρτηση $f$ ισχύει \[f(x+y)=f(x)+f(y), \tag{$\ast$}\] για κάθε $x,y\in\mathbb{R}.$

1. Αποδείξτε ότι αν η $f$ είναι συνεχής στο $0,$ τότε η $f$ είναι συνεχής στο $\mathbb{R}.$
2. Αποδείξτε ότι αν η $f$ είναι συνεχής σε ένα σημείο $\alpha\in\mathbb{R},$ τότε η $f$ είναι συνεχής στο $\mathbb{R}.$

Για τη συνάρτηση $f$ ισχύει \[f(x-y)=f(x)-f(y), \tag{$\ast$}\] για κάθε $x,y\in\mathbb{R}.$

1. Αποδείξτε ότι αν η $f$ είναι συνεχής στο $0,$ τότε η $f$ είναι συνεχής στο $\mathbb{R}.$
2. Αποδείξτε ότι αν η $f$ είναι συνεχής σε ένα σημείο $\alpha\in\mathbb{R},$ τότε η $f$ είναι συνεχής στο $\mathbb{R}.$

Για τη συνάρτηση $f$ ισχύει \[f(xy)=f(x)+f(y), \tag{$\ast$}\] για κάθε $x,y\in\mathbb{R}^{\ast}.$

1. Αποδείξτε ότι αν η $f$ είναι συνεχής στο $1,$ τότε η $f$ είναι συνεχής στο $\mathbb{R}^{\ast}.$
2. Αποδείξτε ότι αν η $f$ είναι συνεχής σε ένα σημείο $\alpha\in\mathbb{R}^{\ast},$ τότε η $f$ είναι συνεχής στο $\mathbb{R}^{\ast}.$

Για τη συνάρτηση $f$ ισχύει \[f\left(\dfrac{x}{y}\right)=f(x)-f(y), \tag{$\ast$}\] για κάθε $x,y\in\mathbb{R}^{\ast}.$

1. Αποδείξτε ότι αν η $f$ είναι συνεχής στο $1,$ τότε η $f$ είναι συνεχής στο $\mathbb{R}^{\ast}.$
2. Αποδείξτε ότι αν η $f$ είναι συνεχής σε ένα σημείο $\alpha\in\mathbb{R}^{\ast},$ τότε η $f$ είναι συνεχής στο $\mathbb{R}^{\ast}.$

Για τη συνάρτηση $f$ ισχύει \[|f(x)-f(y)|\leq \alpha |x-y|, \tag{$\ast$}\] για κάθε $x,y\in\mathbb{R},$ όπου $\alpha\in\mathbb{R}.$

1. Αποδείξτε ότι η $f$ είναι συνεχής στο $\mathbb{R}.$
2. Αν $\beta \gt \alpha,$ αποδείξτε ότι η εξίσωση $f(x)=\beta x$ διαθέτει το πολύ μία πραγματική λύση.

Θεωρούμε τη συνάρτηση $f(x)=\dfrac{x(1+x^2)}{|x|},$ $x\neq 0.$

1. Αποδείξτε ότι η $f$ δεν είναι συνεχής στο $0.$
2. Αποδείξτε ότι η $f$ είναι αντιστρέψιμη.
3. Να προσδιορίσετε την αντίστροφη της $f$ και να αποδείξετε ότι είναι συνεχής.

Αποδείξτε ότι η συνάρτηση $f$ διαθέτει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα $\Delta$ όταν:

1. $f(x)=x^3+x-3,\quad$ $\Delta=(0,2)$
2. $f(x)=x^3+\gsin x-3,\quad$ $\Delta=(0,\pi)$
3. $f(x)=x^5+\ln x+1,\quad$ $\Delta=\left(\frac{1}{e^2},1\right)$
4. $f(x)=x+\ln x-\sqrt{x},\quad$ $\Delta=\left(\frac{1}{2},2\right)$
5. $f(x)=x-\gcos x,\quad$ $\Delta=\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$
6. $f(x)=2^x+x,\quad$ $\Delta=(-1,1)$

Αποδείξτε ότι η συνάρτηση $f$ διαθέτει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα $\Delta$ όταν:

1. $f(x)=x+\gsin x+e^x,\quad$ $\Delta=(-\pi,\pi)$
2. $f(x)=x^2(3^{-x}-x^3),\quad$ $\Delta=(-1,1)$
3. $f(x)=(x^3-1)\ln(x^2+1),\quad$ $\Delta=(-1,2)$
4. $f(x)=\sqrt[3]{x^2+1}-e^x,\quad$ $\Delta=(-1,1)$
5. $f(x)=17x^2-\dfrac{1}{x^5}-19,\quad$ $\Delta=(-1,0)$
6. $f(x)=x^2-e^x+11,\quad$ $\Delta=(0,3)$

Αποδείξτε ότι καθεµία από τις παρακάτω εξισώσεις διαθέτει µία τουλάχιστον λύση στο αντίστοιχο διάστηµα $\Delta$:

1. $(x+1)2^{x+1}=1,\quad$ $\Delta=(-1,0)$
2. $ex^3=x^2 + 2,\quad$ $\Delta=(0,2)$
3. $x^4 + 3x + 1=0,\quad$ $\Delta=(-2,2)$
4. $x^6=-4x^3-1,\quad$ $\Delta=(-2,1)$
5. $\dfrac{x^5}{x-1}+\dfrac{e^x}{x-2}=0,\quad$ $\Delta=(1,2)$
6. $\dfrac{x^2+5}{x-2}+\dfrac{\ln x}{x-3}=0,\quad$ $\Delta=(2,3)$

Σε καθεµία από τις παρακάτω περιπτώσεις να λυθεί η εξίσωση $f (x) = 0$ και να προσδιοριστεί το πρόσηµο της συνάρτησης $f$ στο διάστημα $\Delta$:

1. $f(x)=(\pi-x)\ln x,\quad$ $\Delta=(0,+\infty)$
2. $f(x)=\ln(\gsin x),\quad$ $\Delta=(0,\pi)$
3. $f(x)=e^x+x-1,\quad$ $\Delta=\mathbb{R}$
4. $f(x)=2\ln x+x^3-1,\quad$ $\Delta=(0,+\infty)$
5. $f(x)=\sqrt{x^2+16}-\dfrac{x}{3}-4,\quad$ $\Delta=\mathbb{R}$
6. $f(x)=|x-4|-\dfrac{6}{\sqrt{x+3}},\quad$ $\Delta=(-3,+\infty)$

Να προσδιορίσετε το σύνολο τιµών της συνάρτησης $f$ όταν:

1. $f (x)=e^x+x$
2. $f(x)=\sqrt{x}-\sqrt{4-x}$
3. $f(x)=\ln x-\sqrt{e-x}$
4. $f(x)= \dfrac{4}{\sqrt{x}}$
5. $f(x)=4e^{-x}-\sqrt{x}$
6. $f(x) = -2\ln x+\sqrt{1 - x}$

Αποδείξτε ότι καθεµία από τις παρακάτω εξισώσεις διαθέτει ακριβώς µία λύση στο αντίστοιχο διάστηµα $\Delta$:

1. $x^5 + 25x = 11,\quad$ $\Delta=(0, 1)$
2. $e^x=-x^9,\quad$ $\Delta=(−1, 0)$

Αποδείξτε ότι καθεµία από τις παρακάτω εξισώσεις διαθέτει δύο τουλάχιστον λύσεις στο αντίστοιχο διάστηµα $\Delta$:

1. $x^3 + 3=6x^2,\quad$ $\Delta=(−1, 1)$
2. $\dfrac{1}{x-2}+\dfrac{2}{x-3}=\dfrac{3}{4-x},\quad$ $\Delta=(2, 4)$

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=(x-1)^4+3.$ Να προσδιορίσετε τα διαστήματα μονοτονίας της $f,$ καθώς και το σύνολο $f(\Delta)$ όταν:

1. $\Delta=[2,3]$
2. $\Delta=(-4,1]$
3. $\Delta=(-2,2)$
4. $\Delta=(5,+\infty)$
5. $\Delta=[0,+\infty)$
6. $\Delta=\left(-\infty, \frac{1}{2}\right)$
7. $\Delta=\left(-\infty, \frac{3}{2}\right]$
8. $\Delta=\mathbb{R}$

Αποδείξτε ότι η συνάρτηση $f(x)= x^2+\gsin^2 \pi x +\gcos 3\pi x +3,$ με πεδίο ορισμού το $[-2,1],$ λαμβάνει την τιμή $4.$

Έστω η συνάρτηση $f(x)= x^3+\gcos\pi x +2.$ Αποδείξτε ότι για κάθε $\alpha\in[2,3]$ υπάρχει $x_0\in[0,1]$ ώστε $f(x_0)=\alpha.$

Αποδείξτε ότι η εξίσωση \[\gcos x=3-2x\] διαθέτει λύση στο διάστημα $\left(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}\right).$

Αποδείξτε ότι η εξίσωση \[x^8-16x-5=0\] διαθέτει λύση.

Αποδείξτε ότι η εξίσωση \[\gsin x+x^2-2=0\] διαθέτει μοναδική λύση στο $\left(0,\frac{\pi}{2}\right).$

Αποδείξτε ότι η εξίσωση \[\dfrac{x^{10}+1}{x+1}+\dfrac{x^{20}+2}{x-1}=0\] διαθέτει μοναδική λύση στο διάστημα $(-1,1).$

Θεωρούμε συνάρτηση $f,$ συνεχή στο $[1,2],$ με $f(1)\lt 1$ και $f(2) \gt 4.$ Αποδείξτε ότι η εξίσωση $f(x)=3x-2$ διαθέτει λύση στο διάστημα $(1,2).$

Αποδείξτε ότι η εξίσωση $x^5+5x=\kappa$ διαθέτει μοναδική λύση στο διάστημα $[0,1],$ για κάθε $\kappa\in[0,6].$

Έστω $\alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R}$ με $\alpha\lt \beta\lt \gamma.$ Αποδείξτε ότι η εξίσωση \[f(x)= 3(x-\alpha)(x-\beta)+4(x-\beta)(x-\gamma)+9(x-\alpha)(x-\gamma),\tag{$\ast$}\] διαθέτει δύο τουλάχιστον λύσεις.

Αποδείξτε ότι για κάθε $\alpha\in\mathbb{R},$ η εξίσωση $x+\gcos\alpha=\gcos x+\pi$ διαθέτει λύση στο διάστημα $\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right].$

Αν $\alpha,\beta \gt 0,$ αποδείξτε ότι η εξίσωση $\alpha\gcos x+\beta=x$ διαθέτει θετική λύση που δεν υπερβαίνει τον $\alpha+\beta.$

Έστω $\alpha,\beta,\gamma \gt 0.$ Αποδείξτε ότι η εξίσωση $\dfrac{\alpha}{x+1}+\dfrac{\beta}{x}+\dfrac{\gamma}{x-1}=0$ διαθέτει ακριβώς δύο λύσεις.

Έστω συνεχής συνάρτηση $f: \mathbb{R}\to\mathbb{R},$ τέτοια ώστε $f (0) = f (4).$ Αποδείξτε ότι υπάρχει ένας τουλάχιστον πραγµατικός αριθµός $\xi$ τέτοιος ώστε $f(\xi)=f(\xi+2).$

Έστω συνάρτηση $f,$ συνεχής στο $[1, 3],$ µε $f (1)f (3)+3\lt 3f (1)+f (3).$ Αποδείξτε ότι υπάρχει ένας τουλάχιστον $\xi\in(1, 3)$ τέτοιος ώστε $f (\xi)=\xi.$

Έστω συνάρτηση $f,$ συνεχής στο $[0, 5],$ τέτοια ώστε $0\lt f (x)\lt 1$ για κάθε $x\in[0, 5].$ Αποδείξτε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης $g(x)=f(5x)- x$ διαθέτει ένα τουλάχιστον κοινό σηµείο µε τον άξονα $x^\prime x.$

Έστω συνάρτηση $f,$ συνεχής και γνησίως αύξουσα στο $[0, 1]$ με $f (1) = \dfrac{1}{2}.$ Αποδείξτε ότι οι γραφικές παραστάσεις των $g(x)=2f(x)$ και $h(x)=(1-x)\gcos^2 x$ διαθέτουν κοινό σηµείο µε τετµηµένη $x_0\in(0, 1).$

Θεωρούµε συνάρτηση $f,$ συνεχή στο $R,$ της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το σηµείο $\mathrm{A}(3, 1)$ και δεν διαθέτει κοινό σηµείο µε τον άξονα $x^\prime x.$ Αποδείξτε ότι η εξίσωση $f(x)=(2-x)(x-5)$ διαθέτει δύο τουλάχιστον λύσεις στο $(2, 5).$

Θεωρούµε συνάρτηση $f,$ συνεχή στο $\mathbb{R},$ με $f(0)=-1$ και \[f^2(x)=x^4 + 1, \tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb{R}.$ Να προσδιορίσετε τον τύπο της $f.$

Θεωρούµε συνάρτηση $f,$ συνεχή στο $\mathbb{R},$ με $f(-2) \gt 0,$ $f(3) \gt 0$ και \[f^2(x)=(e^x -e)^2, \tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb{R}.$ Να προσδιορίσετε τον τύπο της $f.$

Θεωρούµε συνάρτηση $f,$ συνεχή στο $\mathbb{R},$ με $ f (1) \gt 0$ και \[f^2(x)+2f (x)=x^2 + x + 1, \tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb{R}.$ Να προσδιορίσετε τον τύπο της $f.$

Έστω συνεχής στο $[-2,2]$ συνάρτηση $f$ με \[ x^2+f^2(x)=4, \tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in[-2,2].$

1. Αποδείξτε ότι η $f$ διατηρεί σταθερό πρόσημο στο διάστημα $(-2,2).$
2. Αν επιπλέον $f(0)=2,$ να προσδιοριστεί ο τύπος της $f.$

Να προσδιοριστούν όλες οι συνεχείς συναρτήσεις $f$ με \[f^2(x)=3+5x^4, \tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb{R}.$

Δινεται η συνάρτηση $f:[0,2]\to\mathbb{R}$ με $f(x)=x^2 \cdot 2^x.$

1. Να προσδιορίσετε το σύνολο $f([0,2]).$
2. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση $f(x)-1=\alpha$ διαθέτει μοναδική λύση, για κάθε $\alpha\in[-1,15].$

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=|x^2-6x|,$ με πεδίο ορισμού το διάστημα $[0,8].$

1. Να προσδιορίσετε το σύνολο τιμών της $f.$
2. Να προσδιορίσετε το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης $f(x)=\alpha,$ για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού $\alpha.$

Έστω $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ με $\alpha\lt \beta.$ Αποδείξτε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης \[f(x)=(x^2+1)(x-\alpha) +(2-\gsin x)(x-\beta)\] τέμνει τον άξονα $x^{\prime}x$ σε ένα τουλάχιστον σημείο.

Δίνεται συνεχής και γνησίως μονότονη συνάρτηση $f:[1,5]\to\mathbb{R},$ της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από τα σημεία $\textnormal{A}(1,8)$ και $\textnormal{B}(5,12).$

1. Αποδείξτε ότι η $f$ είναι γνησίως αύξουσα.
2. Αποδείξτε ότι η συνάρτηση $f$ λαμβάνει την τιμή $29/3.$
3. Αποδείξτε ότι υπάρχει μοναδικό $x_0\in(1,5)$ ώστε $f(x_0)=\dfrac{2f(2)+3f(3)+4f(4)}{9}.$

Δίνεται συνεχής συνάρτηση $f:[1,5]\to\mathbb{R}.$ Να αποδείξετε ότι υπάρχει $\xi\in[1,5]$ τέτοιο ώστε \[f(\xi ) = \dfrac{3f(2) + 5f(3) + 7f(4)}{15}.\]

Έστω $f:[-1,1]\to\mathbb{R}$ συνεχής συνάρτηση με $\alpha f(-1)+\beta f(0)+\gamma f(1)=0,$ όπου $\alpha,\beta,\gamma \gt 0.$ Αποδείξτε ότι η $f$ διαθέτει ρίζα στο $[-1,1].$

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)= \sqrt{4-x}-\sqrt{2-x}.$

1. Να αποδείξετε ότι η $f$ είναι συνεχής και γνησίως μονότονη.
2. Να προσδιορίσετε το σύνολο τιμών της $f.$
3. Να επιλύσετε την ανίσωση $f(x)\lt 1.$

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)= \sqrt{x^2+1}.$

1. Να προσδιορίσετε τα διαστήματα μονοτονίας της $f.$
2. Να προσδιορίσετε το σύνολο τιμών της $f.$
3. Να προσδιορίσετε τα σύνολα $f\Big((1,3]\Big),$ $f\Big((-1,1)\Big),$ $f\Big([-\sqrt{3},+\infty)\Big)$ και $f(\mathbb{R}^\ast).$

Έστω η συνάρτηση \[f(x)=\begin{cases} \alpha^3 x^3+\alpha x+1,&x\lt 1 \\ -2\alpha x^2 +3, &x\geq 1\end{cases}\] Αποδείξτε ότι υπάρχει τουλάχιστον μία τιμή του $\alpha\in\mathbb{R}$ για την οποία η $f$ είναι συνεχής.

Αποδείξτε ότι η συνάρτηση $f(x)=\ln(x-1)+\ln(2-x)-\ln 2$ είναι αρνητική.

Έστω συνάρτηση $f,$ συνεχής και γνησίως αύξουσα στο διάστημα $[\alpha,\beta].$ Αποδείξτε ότι υπάρχει $\xi\in(\alpha,\beta)$ τέτοιος ώστε $3f(\xi)=f(\alpha)+f(\beta)+f\left(\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right).$

Έστω $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ με $\alpha\lt \beta.$ Θεωρούμε συναρτήσεις $f,g$ συνεχείς στο $[\alpha,\beta]$ με $f(\alpha) \gt g(\alpha)$ , $f(\beta)\lt g(\beta).$ Αποδείξτε ότι υπάρχει $x_0\in(\alpha,\beta)$ τέτοιο ώστε $f(x_0)=g(x_0).$

Έστω $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ με $\alpha\lt \beta.$ Θεωρούμε συναρτήσεις $f,g$ συνεχείς στο $[\alpha,\beta]$ με $f(\alpha)+ f(\beta)=g(\alpha)+g(\beta).$ Αποδείξτε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον $x_0\in[\alpha,\beta]$ τέτοιο ώστε $f(x_0)=g(x_0).$

Έστω $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ με $\alpha\lt \beta.$ Θεωρούμε συνάρτηση $f$ συνεχή στο $[\alpha,\beta]$ με $\kappa f(\alpha)+\lambda f(\beta)=0,$ όπου $\kappa, \lambda \gt 0.$ Αποδείξτε ότι υπάρχει $x_0\in[\alpha,\beta]$ τέτοιο ώστε $f(x_0)=0.$

Έστω $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ με $\alpha\lt \beta.$ Θεωρούμε συνεχή συνάρτηση $f:[\alpha,\beta]\to\mathbb{R}$ με $f(\alpha)=f(\beta) .$ Αποδείξτε ότι υπάρχει $x_0\in\left[\alpha,\frac{\alpha+\beta}{2}\right]$ τέτοιο ώστε \[f(x_0)=f\left(x_0+\frac{\beta -\alpha}{2}\right).\]

Έστω $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ με $\alpha\lt \beta.$ Θεωρούμε συνεχή συνάρτηση $f:[\alpha,\beta]\to\mathbb{R}$ με $f(\alpha)\neq f(\beta) .$ Αν $\kappa, \lambda \gt 0,$ αποδείξτε ότι υπάρχει $x_0\in(\alpha,\beta)$ τέτοιο ώστε \[f(x_0)=\dfrac{\kappa f(\alpha)+\lambda f(\beta)}{\kappa+\lambda}.\]

Έστω $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ με $\alpha\lt \beta.$ Θεωρούμε συνεχείς συναρτήσεις $f,g:[\alpha,\beta]\to\mathbb{R}$ με $f(\alpha)= \alpha$ και $f(\beta)= \beta.$ Υποθέτουμε επιπλέον ότι $g([\alpha,\beta])\subseteq [\alpha,\beta].$ Αποδείξτε ότι υπάρχει $x_0\in[\alpha,\beta]$ τέτοιο ώστε $2f(x_0)=(g\circ f)(x_0)+g(x_0).$

Έστω $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ με $\alpha\lt \beta.$ Θεωρούμε συνεχή συνάρτηση $f:[\alpha,\beta]\to\mathbb{R}.$ Αποδείξτε ότι υπάρχει $x_0\in(\alpha,\beta)$ τέτοιο ώστε $f(x_0)=\dfrac{1}{x_0-\alpha}+\dfrac{1}{x_0-\beta}.$

Έστω $\alpha \gt 0$ και συναρτήσεις $f,g,$ για τις οποίες υποθέτουμε ότι:

• οι $f,g$ είναι συνεχείς στο $[-\alpha, \alpha],$
• η $f$ είναι περιττή,
• $g(\alpha)=- \alpha$ και $g(-\alpha)=\alpha.$

Αποδείξτε ότι υπάρχει $x_0\in(-\alpha, \alpha)$ τέτοιο ώστε $f(g(x_0))+f(x_0)+g(x_0)=0.$

Έστω $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ με $\alpha\lt \beta.$ Θεωρούμε συνεχή συνάρτηση $f:[\alpha,\beta]\to\mathbb{R}$ με $f(\alpha),f(\beta)\in(\alpha, \beta).$ Αποδείξτε ότι η $C_f$ διαθέτει κοινό σημείο με την ευθεία $y=x.$

Έστω $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ με $\alpha\lt \beta.$ Θεωρούμε συνεχείς συναρτήσεις $f:[\alpha,\beta]\to\mathbb{R}$ για τις οποίες υποθέτουμε ότι:

• $f([\alpha,\beta])=g([\alpha,\beta])=[\alpha,\beta],$
• η $f$ είναι γνησίως φθίνουσα,
• η $g$ είναι γνησίως αύξουσα.

Αποδείξτε ότι οι $C_f,$ $C_g$ διαθέτουν μοναδικό κοινό σημείο.

Έστω $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ συνεχής συνάρτηση με μοναδική ρίζα $\alpha.$ Αν \[f\left(\dfrac{\alpha^2+1}{2}\right) \gt 0,\] να αποδείξετε ότι $f(\alpha+1) \gt 0.$

Έστω $f:[\alpha,\beta]\to\mathbb{R}$ συνεχής συνάρτηση, με $f(\alpha)=f(\beta).$ Αν $\gamma$ και $\delta$ είναι το μέσο και το μήκος του διαστήματος $[\alpha,\beta]$ αντιστοίχως, να αποδείξετε ότι υπάρχει $x_0\in \left[0,\frac{\delta}{2}\right]$ τέτοιος ώστε $f(x_0+\alpha)=f(x_0+\gamma).$

Έστω $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ με $\alpha\lt \beta.$ Θεωρούμε συνεχή και $1-1$ συνάρτηση $f$ στο διάστημα $[\alpha,\beta]$ με $f(\alpha)f(\beta) \gt 0.$ Αποδείξτε ότι $f(x)f(\alpha)\geq 0$ για κάθε $x\in[\alpha,\beta].$

Έστω $P$ ένα μη σταθερό πολυώνυμο. Αν $f$ είναι συνεχής στο $\mathbb{R}$ συνάρτηση με $P\circ f=0,$ αποδείξτε ότι η $f$ είναι σταθερή.

Αν η συνάρτηση $f$ είναι συνεχής στο $[0,1]$ και ισχύει $0\lt f(x)\lt 1,$ για κάθε $x\in\mathbb{R},$ αποδείξτε ότι υπάρχει $x_0\in(0,1)$ τέτοιο ώστε $f(x_0)=x_0^2.$

Αν η συνάρτηση $f$ είναι συνεχής στο $[0,1]$ και ισχύει $0\lt f(x)\lt 1,$ για κάθε $x\in\mathbb{R},$ αποδείξτε ότι υπάρχει $x_0\in(0,1)$ τέτοιο ώστε $f^2(x_0)+ f(x_0)=x_0^2+x_0.$

Έστω $f$ συνεχής στο $[0,1]$ συνάρτηση, με σύνολο τιμών το $[0,1].$ Αποδείξτε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον $x_0\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$ με $f(\gcos x_0)=\gcos x_0.$

Έστω $f$ συνεχής στο $[1,3]$ συνάρτηση με $f([1,3])\subseteq(1,3).$ Αποδείξτε ότι υπάρχει $x_0\in(1,3)$ τέτοιο ώστε $f(x_0)=\dfrac{3}{x_0}.$

Θεωρούμε συνεχείς στο $[0,1]$ συναρτήσεις $f,g$ με$f([0,1])=g([0,1])=[0,1].$ Αποδείξτε ότι υπάρχει $x_0\in[0,1]$ τέτοιο ώστε $f(f(x_0))=2x_0-g(x_0).$

Αν η συνάρτηση $f$ είναι συνεχής στο $[0,2]$ με $f(0)=f(2),$ αποδείξτε ότι υπάρχει $x_0\in[0,1]$ ώστε $f(x_0)=f(x_0+1).$

Αν για την ορισμένη στο $[0,1]$ συνάρτηση $f$ ισχύουν $f([0,1])=[0,1]$ και \[|f(x)-f(y)|\leq |x-y|,\tag{$\ast$}\] για κάθε $x,y\in[0,1],$ αποδείξτε ότι η εξίσωση $f(x)=x$ διαθέτει λύση στο διάστημα $[0,1].$

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)= 3x^2-1+\gsin x.$

1. Να αποδείξετε ότι η $f$ είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα $\left[0,\frac{\pi}{2}\right].$
2. Να προσδιορίσετε το $f\left(\left[0,\frac{\pi}{2}\right]\right).$
3. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση $f(x)=0$ διαθέτει μοναδική λύση στο $\left(0,\frac{\pi}{2}\right).$

Δίνεται η συνάρτηση $f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$ με τύπο $f(x)=2x^4+3\ln x+1.$

1. Να εξετάσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση $f.$
2. Να προσδιορίσετε το σύνολο τιμών της συνάρτησης $f.$
3. Να αποδείξετε ότι για κάθε $\alpha\in\mathbb{R},$ η εξίσωση $f(x)=\alpha$ διαθέτει μοναδική λύση.
4. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικός $\lambda \gt 0$ με $\lambda^4+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}\ln\dfrac{1}{\lambda}.$

Δίνονται οι συναρτήσεις $f(x)=e^{x-\alpha}-1$ και $g(x)=ln(\alpha x+1)+ \alpha,$ όπου $\alpha\in\left(0,\frac{3}{4}\right).$

1. Αποδείξτε ότι η εξίσωση $f(x)= \alpha x$ διαθέτει λύση στο διάστημα $[\alpha, \alpha+1].$
2. Έστω ότι $\rho$ είναι λύση της εξίσωσης $f(x)=\alpha x$ στο $[\alpha, \alpha+1].$ Αποδείξτε ότι $\lim\limits_{x\to\rho}g(x)=\rho.$

Δίνεται συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},$ συνεχής και γνησίως αύξουσα, με $f(1) = 2.$ Θεωρούμε τη συνάρτηση $g$ με τύπο $g(x)=f({e^{-x}}) - {e^x},$ όπου $x\in\mathbb{R}.$

1. Να αποδείξετε ότι η $g$ είναι γνησίως φθίνουσα.
2. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της $g$ τέμνει τον άξονα $x^{\prime}x$ σε ένα ακριβώς σημείο, με τετμημένη στο διάστημα $(0,1).$

Δίνεται συνάρτηση $f,$ συνεχής στο $[-3,3],$ για την οποία ισχύει \[3x^2 +4f^{2}(x)=27,\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in [-3,3].$

1. Να προσδιορίσετε τις λύσεις της εξίσωσης $f(x)=0.$
2. Να αποδείξετε ότι η $f$ διατηρεί πρόσημο στο διάστημα $(-3,3).$
3. Να προσδιοριστεί ο τύπος της $f.$
4. Αν επιπλέον $f(1)=\sqrt{6}$ να προσδιορίσετε το όριο $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(x)-\frac{3\sqrt{3}}{2}}{x}.$

Δίνεται συνεχής συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},$ η οποία είναι γνησίως μονότονη στο $\mathbb{R}$ και η γραφική της παράσταση διέρχεται από τα σημεία $\textnormal{A}(-1,0)$ και $\textnormal{B}(2,3).$

1. Να αποδείξετε ότι η $f$ είναι γνησίως αύξουσα.
2. Να προσδιορίσετε το πρόσημο της $f.$
3. Να επιλύσετε την εξίσωση $f(2e^x +1)=3.$
4. Να επιλύσετε την ανίσωση $f(3x+5)\leq 0.$

Δίνεται συνεχής συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},$ για την οποία ισχύει \[f^{2}(x)=\alpha^{2x}+2\alpha^{x}+1,\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb{R},$ όπου $\alpha\in\mathbb{R}^{\ast}.$

1. Να αποδείξετε ότι η $f$ διατηρεί σταθερό πρόσημο στο $\mathbb{R}.$
2. Αν $f(0)=-2,$ να προσδιορίσετε τον τύπο της $f.$
3. Να υπολογίσετε το όριο $\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{2f(x)-3^x}{3\cdot 2^x+4\cdot 3^x},$ όπου $\alpha\lt 2.$
4. Να υπολογίσετε το όριο $\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{2f(x)-3^x}{3\cdot 2^x+4\cdot 3^x},$ όπου $\alpha\gt 3.$

Θεωρούμε συνεχή συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},$ για την οποία ισχύει \[\left(x^2 - 4x + 2\right) f(x) \leq f(0) + f(4),\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb{R}.$

1. Να αποδείξετε ότι $f(0) = f(4).$
2. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον $\xi\in[0,2]$ με $f({\xi ^2}) = \xi \cdot f(2\xi).$

Δίνεται συνεχής συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},$ για την οποία ισχύει \[x^4 +1\leq 4f(x)\leq x^4 +2\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb{R}.$

1. Να αποδείξετε ότι $\dfrac{1}{4}\leq f(0)\leq \dfrac{1}{2}$ και $\dfrac{1}{2}\leq f(1)\leq \dfrac{3}{4}.$
2. Να προσδιορίσετε το όριο $\lim\limits_{x\to 0}\left(x^4 f\left(\frac{1}{x}\right)\right).$
3. Να προσδιορίσετε το όριο $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x^5 f\left(\frac{1}{x}\right)+4\gsin 3x}{2x^2 +3\gsin x}.$
4. Να αποδείξετε ότι υπάρχει $\xi\in(0,1)$ τέτοιο ώστε $f(\xi)=\xi.$

Δίνεται συνεχής συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},$ για την οποία ισχύουν οι συνθήκες:

• $|3\gsin x-2xf(x)|\leq\dfrac{1}{2}x^2,$ για κάθε $x\in\mathbb{R}.$
• $4f(x)+3f(x+1)=2x^{2}-1905,$ για κάθε $x\in\mathbb{R}.$

1. Να προσδιορίσετε το όριο $\lim\limits_{x\to 0}f(x)$
2. Να προσδιορίσετε το $f(1).$
3. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της $f$ τέμνει τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $g(x)=x-1$ σε ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη $x_0\in(0,1).$

Δίνεται συνεχής συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},$ τέτοια ώστε \[\kappa{\gsin}^{2}x=x^{2}f(x)+\sqrt{1+{\gsin}^{2}x}-\lambda,\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb{R},$ όπου $\kappa,\lambda\in\mathbb{R}.$ Επίσης, γνωρίζουμε ότι η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο $\textnormal{A}\left(0,\frac{1}{2}\right).$

1. Να προσδιορίσετε τους $\kappa,\lambda.$
2. Αν $\kappa=1$ και $\lambda=1,$ να προσδιορίσετε την $f.$
3. Να προσδιορίσετε το όριο $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(x)}{\gcos x}.$

Θεωρούμε συνεχή συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ με $f(-1)\neq 0$ και $f(1)\neq 0,$ για την οποία επίσης ισχύει ότι \[f^2(x) - 6f(x) + 5 = x^4 + 4x^2.\tag{$\ast$}\]

1. Να αποδείξετε ότι η $f$ δεν διαθέτει ρίζες.
2. Να προσδιορίσετε την τιμή $f(1).$
3. Να προσδιορίσετε τον τύπο της $f.$
4. Να προσδιορίσετε το όριο $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\gsin x}{f(x)}.$

Δίνεται συνεχής συνάρτηση $f: \mathbb{R}\to\mathbb{R},$ για την οποία ισχύει \[x^2 f(x) +\gsin x =xf(x) +\sqrt{x}\gsin x,\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb{R}.$

1. Να προσδιορίσετε τις τιμές $f(0)$ και $f(1).$
2. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον $\xi\in(0,1)$ τέτοιο ώστε $4f(\xi)=3\xi.$

Δίνεται συνεχής συνάρτηση $f: \mathbb{R}\to\mathbb{R},$ για την οποία ισχύει $f(0)+f(1)=2.$ Αποδείξτε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον $\xi\in[0,1]$ τέτοιο ώστε $2f(\xi^2)=\xi(f(\xi)+2).$

Δίνεται συνεχής και γνησίως μονότονη συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},$ για την οποία ισχύει $f^2(2)+f^2(3)-2f(2)+4f(3)+5=0.$

1. Να προσδιορίσετε τις τιμές $f(2)$ και $f(3).$
2. Να προσδιορίσετε το είδος της μονοτονίας της $f.$
3. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση $f(x)=0$ διαθέτει μοναδική ρίζα στο $\mathbb{R}.$